債券價格的利率方程？
如果當時債券價格為零 $ t $ , 成熟 $ T $ ( $ t<T $ )，表示為
$ B(t;T) = B(T;T) e^{(-\int_{t}^{T} r(s) ds)} $
在哪裡 $ r(t) $ 是一個已知的利率。
這如何轉變為 $ r(T) = - \frac{1}{B(t;T)} \frac{\partial B(t;T)}{\partial T} $
我知道 $ B(T;T)=1 $ 我們可以重新排列，但我不明白如何從積分中獲得偏微分？
如果利率是確定性的（即時間相關但非隨機的），那麼 $$ \begin{align} B(t,T) &= \exp\left( - \int_t^T r(s)\mathrm{d}s\right) \ \Leftrightarrow \int_t^T r(u)\mathrm{d}u &= -\ln B(t,T). \end{align} $$ 區分雙方 $ T $ 根據萊布尼茨規則產量 $$ \begin{align*} r(T) &= -\frac{\partial \ln B(t,T)}{\partial T}\ &= -\frac{1}{B(t,T)} \frac{\partial B(t,T)}{\partial T}. \end{align*} $$ 後一行使用鍊式法則。回顧 $ \frac{\partial B(t,T)}{\partial T}<0 $ 這給你正利率。畢竟，債券價格通常會隨著到期而下降。
如果利率是隨機的，則第一個等式需要條件期望。但是，請注意，根據定義，瞬時遠期利率 $ f(t,T) $ 滿足 $$ \begin{align*} f(t,T) &= -\frac{\partial \ln B(t,T)}{\partial T} \ &=-\frac{1}{B(t,T)}\frac{\partial B(t,T)}{\partial T}. \end{align*} $$ 後一個等式再次遵循鍊式法則。第一行允許您再次編寫 $$ \begin{align*} B(t,T) = \exp\left(-\int_t^T f(t,s)\mathrm{d}s\right). \end{align*} $$ 即使利率是隨機的，這也是成立的。此外，請注意 $ \lim\limits_{T\to t} f(t,T) = r(t) $ ，即瞬時短率。