將信用風險引入已實施的利率模型
關於如何擴展利率模型以納入信用風險，是否存在任何標準/通用方法？
首先想到的是單獨對信用利差進行建模——也許假設與主要過程有一些相關性。
然後可以通過首先在原始模型（例如赫爾懷特）中對風險債券進行定價，然後再添加價差來對風險債券進行估值 - $ P(t,T)\text{rn} e^{-\operatorname{spread}(t,T)} $ 和 $ P(t,T)\text{rn} $ 表示“基礎”模型中的“風險中性”價格。
這裡有一些實用技巧，用於選擇散佈曲線的隨機過程，例如在蒙特卡羅模擬中。
通常，由於數據限制，您會為關鍵到期日的收益率制定聯合隨機模型。
企業收益率曲線一般保持有序，AAA 收益率低於 AA 收益率，AA 收益率低於 A 收益率等。例如，如果您正在模擬三條曲線的演變：無風險基數、A- 評級和 B-評級，然後將隨機模型用於保持順序的相對價差。讓 $ r(t,T_i) $ , $ r_A(t,T_i) $ ， 和 $ r_B(t,T_i) $ 分別表示當時的無風險收益率、A 級收益率和 B 級收益率 $ t $ 對應於一些成熟度 $ T_i $ . 讓 $ s_A(t,T_i)=r_A(t,T_i)-r(t,T_i) $ 和 $ s_{A,B}(t,T_i)=r_B(t,T_i)-r_A(t,T_i) $ 表示相對價差。您可以通過對價差使用對數類型的流程來強制執行訂單，以防止出現負值。例如：
$$ d\log S_A=\mu(S_A,t)dt+\sigma(S_A,t)dZ_A, \\ d\log S_{A,B}=\mu(S_{A,B},t)dt+\sigma(S_{A,B},t)dZ_{AB} $$ 在哪裡 $ Z_A(t) $ 和 $ Z_{AB}(t) $ 是相關的布朗過程。
下一個要求是模擬的期限結構不表現出套利機會（負遠期收益率）。這可以通過幾個附加功能在一定程度上得到控制：
(1) 驅動隨機波動的布朗過程向量的相關性——每條曲線和每個關鍵成熟度對應一個布朗過程。
(2) 在漂移項中加入均值回歸。此外，均值回歸是收益率變動的常見特徵。
在實踐中，這兩種措施可能不足以消除所有樣本路徑中的套利違規行為。通常有效的最後一個措施是允許在漂移中不同期限的收益率耦合。一種方法是使用向量自回歸模型。