麥考利久期 - 責任匹配
誰能提供一個詳細的例子來證明以下陳述： “當投資期限等於債券的麥考利久期時，票面再投資風險抵消價格風險。”
誰能提供一個詳細的例子來證明以下陳述：“當投資期限等於債券的麥考利久期時，票面再投資風險抵消價格風險。”
證明：
投資期的未來價值 $ t $ 的一組 $ n $ 現金流量是 $$ FV(t;y) = \sum_{i=1}^n CF_i \cdot D(t,t_i) = \sum_{i=1}^n CF_i \cdot \exp\left(-y\cdot (t_i-t)\right), $$ 在哪裡 $ D(t,t_i) $ 是時間之間的折扣因子 $ t $ 和時間 $ t_i $ ， 和 $ y $ 是恆定的連續複合利率或收益率。
對於什麼價值 $ t $ 未來價值是否不受收益率的微小變化影響？ $$ \begin{align} \frac{\partial FV(t;y)}{\partial y} &= -\sum_{i=1}^n CF_i \cdot (t_i-t) \exp\left(-y\cdot (t_i-t)\right), \end{align} $$ 設置為零並求解 $ t $ 給我們 $$ \begin{align} t^* = \frac{\sum_{i=1}^n t_i \cdot CF_i \cdot \exp(-y\cdot t_i)}{\sum_{i=1}^n CF_i \cdot \exp(-y\cdot t_i)}, \end{align} $$ 這與麥考利持續時間相同。
相對於地平線 $ t $ , 時間之前的現金流量 $ t $ 向前複合（價值增加），以及一段時間後的現金流 $ t $ 折現（價值減少）。產量小幅正增長 $ y $ 將導致未來現金流在某個時間變得不那麼有價值（價格風險） $ t $ 因為過去收到的現金流更有價值（投資風險）。如果地平線是 $ t^* $ ，等於麥考利持續時間，這兩個效應將抵消。
例子：
考慮一個 3 年年付息票面債券 $ N=100 $ ， 屈服 $ y=19.5% $ ， 優惠券 $ c=21.5% $ , $ t_i=i $ 在哪裡 $ i=1,2,3 $ . 現金流量是 $ CF_i=N\cdot c=21.5 $ 為了 $ i<3 $ 和 $ CF_3=Nc+N = 121.5 $ .
執行上述練習，您將看到麥考利持續時間為 $ t^*=2.5 $ .
未來價值的變化為微小的變化 $ \epsilon $ 產量由下式給出 $ \Delta FV(t;y) = FV(t;y+\epsilon) - FV(t;y) $ . 與例如 $ \epsilon=1% $ 你會發現當值的變化最小化時 $ t=t^* $ .