凸度調整公式的證明
讓 $ y_0 $ 是今天觀察到的到期遠期合約的遠期債券收益率 $ T $ , $ y_T $ 是當時的債券收益率 $ T $ , $ B_T $ 是當時債券的價格 $ T $ 然後讓 $ \sigma_y $ 為遠期債券收益率的波動率。
假設 $ B_T = g(y_T) $ 然後使用泰勒級數擴展，
$$ B_T = G(y_0)+(y_T-y_0)G’(y_0)+0.5G’’(y_0)(y_T-y_0)^2 $$ 然後我們得到期望
$$ E_T(B_T) = G(y_0)+E_T(y_T-y_0)G’(y_0)+0.5G’’(y_0)E_T(y_T-y_0)^2 $$ 當我們在風險中性的世界中工作時， $ E_T(B_T)=G(y_0) $ ,
所以
$$ E_T(y_T-y_0)G’(y_0)+0.5G’’(y_0)E_T(y_T-y_0)^2 $$ 現在顯然 $ E_T[(y_T-y_0)^2] $ 大約等於 $ \sigma_y^2y_0^2T $ ，但看不出為什麼這種近似是正確的。
好吧，您需要知道您使用的隨機模型是什麼 $ y_T $ ，如果你假設它是一個幾何布朗運動，你有這個過程：
$ y_T = y_0 e^{\sigma W_T - \frac{1}{2} \sigma^2T} $
如果你計算你得到的期望和變異數
$ \mathbb{E}(y_T) = y_0 $
和
$ Var(y_T) = {y_0}^2( e^{\sigma^2 T }-1) $
作為 $ y_0 $ 是不變的 $ \mathbb{E}((y_T-y_0)^2) = Var(y_T)+(\mathbb{E}(y_T)-y_0)^2 $ （使用變異數公式）
這使 $ \mathbb{E}((y_T-y_0)^2) = y_0^2 (e^{\sigma^2 T}-1) $ 如果你有 $ \sigma^2 T $ 小你可以執行泰勒的擴展，你會得到顯示的結果