簡單的 HJM 模型，區分債券價格
我們有以下簡單的 HJM 模型
$$ f(t,T)=f(0,T)+\int_0^t\alpha(s,T)ds+\sigma W_t $$ $$ r_t=f(0,t)+\int_0^t\alpha(s,t)ds+\sigma W_t $$ $$ P(t,T)=\exp-\bigg(\int_t^Tf(0,u)du+\int_0^t\int_t^T\alpha(s,u)duds+\sigma(T-t)W_t\bigg)\tag{1} $$ $$ \alpha(t,T)=\sigma^2(T-t)+\sigma\gamma_t $$ 然後由伊藤引理 $$ d_tP(t,T)=P(t,T)\Big(-\sigma(T-t)dW_t+(r_t-\sigma(T-t)\gamma_t)dt\Big)\tag{2} $$ 我的問題是，我們如何從（1）到（2）？ 我嘗試了以下
$$ P(t,T)=e^{-X_t} $$ $$ X_t=\int_t^Tf(0,u)du+\int_0^t\int_t^T\alpha(s,u)duds+\sigma(T-t)W_t $$ $$ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_0^t\int_t^T\alpha(s,u)duds&=\int_0^t\bigg(\frac{\partial}{\partial t}\int_t^T\alpha(s,u)ds\bigg)ds+\int_t^T\alpha(t,u)du\ &=-\int_0^t\alpha(s,t)ds+\int_t^T\alpha(t,u)du\ \end{align} $$ $$ \begin{align} dX_t&=-f(0,t)dt-\int_0^t\alpha(s,t)ds+\int_t^T\alpha(t,u)du-\sigma W_tdt+\sigma(T-t)dW_t\ &=\bigg(\int_t^T\alpha(t,u)du-r_t\bigg)dt+\sigma(T-t)dW_t \end{align} $$ $$ \begin{align} d_tP(t,T)&=-P(t,T)dX_t+\frac{1}{2}P(t,T)\sigma^2 (T-t)^2dt\ &=-P(t,T)\Bigg(\bigg(\int_t^T\alpha(t,u)du-r_t\bigg)dt+\sigma(T-t)dW_t\Bigg)+\frac{1}{2}P(t,T)\sigma^2 (T-t)^2dt\ &=P(t,T)\Bigg(\bigg(r_t-\int_t^T\alpha(t,u)du+\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t)^2\bigg)dt-\sigma(T-t)dW_t\Bigg) \end{align} $$ 因此，如果我到目前為止是正確的，那就意味著 $$ \int_t^T\alpha(t,u)du-\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t)^2=\sigma(T-t)\gamma_t\tag{3} $$ 隨著滿足條件的測度變化 $$ \alpha(t,T)=\sigma^2(T-t)+\sigma\gamma_t $$ 我無法證明（3）中的相等性，也就是說，如果我在以前的工作中沒有犯任何錯誤。 任何幫助表示讚賞。
身份 $ (3) $ 顯然成立如果
$$ \alpha(t, T) = \sigma^2(T-t) +\sigma \gamma_t, $$ 自從 $$ \begin{align*} \int_t^T \alpha(t, u)du &= \int_t^T\left(\sigma^2(u-t) +\sigma \gamma_t \right)du\ &=\frac{1}{2}\sigma^2(T-t)^2 + \sigma \gamma_t (T-t). \end{align*} $$