隨機過程（在 Ho-Lee 模型上應用 Ito 引理）
我尋求一種基本形式 (SDE) 來理解 Ho-Lee 模型。
我已經了解 Vasicek、Merton 和 Cox-Ingereoll-Ross 等的模型。例如，
$$ \begin{align*} dX_t &= -1/2 \alpha X_t dt + \sigma dWt, \ r_t &=f(t,X_t)=(X_t)^2. \end{align*} $$ 然後， $ f_t(t,x)=0 $ , $ f_x(t,x)=2x $ 和 $ f_{xx}(t,x)=2 $ . 根據伊藤引理，
$$ \begin{align*} dr_t&= \left(-1/2 \alpha X_t \cdot 2X_t+ 1/2\sigma^2 \cdot 2\right) dt+2\sigma X_t dW_t \ &= \left(\sigma^2 -\alpha r_t\right)dt + 2\sigma \sqrt{r_t} dW_t. \end{align*} $$
那麼，何李模型呢？
我知道瞬時前進是由 $$ f(t, T) = f(0,T) + \sigma^2 (Tt - 1/2t^2) + \sigma W_t. $$
短期利率選擇使用 $ r_t=f(t,t) $ ， 那是：
$$ r_t= r_{0} + 1/2 \sigma^2 t^2 + \sigma W_t. $$
但是有沒有辦法通過 SDE 定義模型？
您能否驗證我是否正確編輯了您的問題，即這確實是您的問題。
在這種情況下，Ho-Lee (1986) 模型表示為 $ dr=\theta_t dt +\sigma dW_t $ . 你能用嗎 $ f(t,x)=x $ 這樣 $ X_t=r_t $ . 在這個意義上，Ho-Lee 模型是具有時間依賴性的 Vasicek 模型。這在 Hull 和 White (1990) 的模型中得到了進一步概括。在所有這些模型中，短期利率是正態分佈的。它們允許零息債券（期權）價格的封閉式解決方案。