評估掉期的浮動邊
讓 $ P_{t}(\pi) $ 是零息債券在時間 t 的價格與到期時間的關係 $ \pi $ . 此外，讓 $ f_{t}(\pi_1, \pi_2) $ 是在該時間段內賺取的遠期匯率 $ [\pi_1, \pi_2] $ . 假設我們現在在時間 $ t=0 $ 並且想要對名義金額為 1 的 5 個週期的利率掉期進行估值。我們應該同時評估固定邊和浮動邊。
顯然，對於掉期率為 1% 的固定腿，我們有
$$ PV_{fixed}=0.01\sum_{\pi=1}P_{0}(\pi) $$ 但我不明白為什麼我們也有
$$ PV_{floating}=\sum_{\pi=1}^{5}f_0(\pi-1,\pi)P_{0}(\pi) $$ 遠期利率與浮動利率有什麼關係？
遠期利率是“未來”的隱含、無套利浮動利率。我在這里松散地使用這個術語，因為沒有人真的假裝這些利率實際上在未來實現，但是，從數學上講，遠期利率從根本上暗示為： 讓您在鎖定從 t0 到 t1 的利率之間無動於衷的利率，然後在 t1 和 t2 之間滾動到另一個（預先確定的利率），或者只是一個從 t0 到 t2 的“現貨”利率。
數學上：
$$ \begin{equation} (1+f_{0,1})*(1+f_{1,2}) = (1+r_{0,2}) \end{equation} $$ （請注意，我忽略了複合和約定以顯示簡單的情況，因此假設每個遠期僅在單個期間複合並且天數完全匹配） 從技術上講
$$ \begin{equation} f_{0,1}=FloatingRate_{0} \end{equation} $$也就是說，第一個遠期利率是第一個/目前已知的浮動利率。 目前浮動利率的隱含遠期用於為掉期定價以獲得 0 NPV（假設普通掉期）。如果你有一個完整的遠期曲線，或者一個完整的零曲線，那麼你可以簡單地解決另一個（假設時間對齊，如果不是你必須使用所謂的“存根利率”，但不會進入那個） .
當談到掉期價值時，浮動利率和遠期利率之間的定性聯繫很簡單：如果浮動利率不遵循初始隱含遠期的路徑（在掉期合約進入時），那麼掉期的價值將會改變。起初，這種說法可能看起來很奇怪，因為掉期通常被視為固定利率邊上的賭注，並且該利率上下波動。但想想掉期是如何估值的。在理論定價中，我們解決了固定邊（在實踐中，您可能會發現自己要解決浮動邊的價差，但這裡不會涉及）。那麼究竟是什麼導致固定腿發生變化呢？好吧，如果零曲線移動（或隱含零利率的面值曲線），那麼現在您的隱含遠期已經改變！顯然，現在您的交換價值已經從 0NPV 入口點發生了變化（好吧……它’ s 可能的事情會以保持在 0 附近的方式發生變化……但你明白了）。因此，實際上將掉期視為對隱含遠期利率的賭注更有意義，但沒有人真正這樣做，因為它更容易以固定邊的基點條款的美元價值來衡量。
如果我理解你的問題，這應該有助於建立浮動利率和遠期利率之間的關係。我要指出的是，當我說“0NPV”時，並不是因為每條腿的 PV 為零，而是因為兩者之間的差值為零，因此兩條腿在進入時總的 PV 抵消了。
遠期以及它們與貼現因子的關係（它們是零息債券的現值。我承認你的一些下標讓我有點困惑，因為我不習慣這樣看，但它看起來對我來說是正確的，所以希望你可以將以下內容與您的符號相關聯）：
$$ \begin{equation} (1+f_{0,1})(1+f_{1,2})=(1+r_{0,2}) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} 1/(1+f_{0,1})*1/(1+f_{1,2})=1/(1+r_{0,2}) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} where: 1/(1+r)=DF \end{equation} $$ $$ \begin{equation} DF_{0,1}*1/(1+f_{1,2})=DF_{0,2} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} DF_{0,1}/DF_{0,2}=(1+f_{1,2}) \end{equation} $$ 我故意留下遠期匯率，因為這通常是我所看到的關係陳述的方式，但是如果我們取 1/ 雙方，它相當於： $$ \begin{equation} DF_{0,2}/DF_{0,1}=DF_{1,2} \end{equation} $$ 但$$ \begin{equation} DF_{1,2}\end{equation} $$在實踐中並沒有太多的經濟直覺（可以說是“未來的現值”），所以它被避免了，但我們仍然可以在評論中與你的公式相協調：首先，讓我們解決這個問題： $$ \begin{equation} DF_{0,t}=P_0(t)=1/(1+r_t) \end{equation} $$ 在我們允許不同時間段的一般情況下，我們有： $$ \begin{equation} P_0(t)/P_0(t-1)=P_{t-1}(t) \end{equation} $$ 簡單的重新排列： $$ \begin{equation} P_0(t)/P_{t-1}(t)=P_0(t-1) \end{equation} $$ 我使用 t 而不是 pi，IMO 不太容易混淆，而且我認為您在評論中的公式錯誤地使用了兩者。