使用信用評級計算的違約機率與 CDS 價格之間有什麼聯繫？
我正在開發一種工具來為信用違約掉期定價。我已經完成了標准定價工具。我正在開發一種定價工具，該工具將信用評級用於 CDS 定價中使用的預設機率。這些機率與價格之間有什麼關係？
你的轉換矩陣 $ M $ 有一個與之相關的時間範圍，通常為一年，但有時為 3 個月或 5 年。為方便起見，假設期限為 3 個月。如果不是，您可能希望取一個矩陣平方根，將其轉換為 3 個月矩陣。
現在通過將矩陣與自身相乘形成 6 個月的轉移機率， $ M \cdot M $ 並且可以重複該過程。所以 $ N $ 未來幾個季度，合適的矩陣是 $ M^N $ . 讓我們採用第一行的約定 $ {d_{1,j}}_{j=1}^R $ 的 $ M $ 代表預設。假設目前評級對應於行 $ I $ .
CDS 有 2 種現金流，息票支付 $ c_n $ 和預設付款 $ D_n $ （一般 $ c_n $ 和 $ D_n $ 是恆定的）。優惠券支付 $ n $ 從現在開始的季度有機率 $ p_n $ 您可以將其視為初始評級行的非預設條目， $ \sum_{j=2}^R (M^N){I,j} $ ，或更容易為 $ p_n=1-(M^N){I,1} $ 因為機率總和必須為 1。
優惠券腿 $ L_C = \sum_{n=1}^N PV_n p_n c_n $ CDS 的價值對應於這些現金流的現值乘以它們發生的機率。
預設邊的定價類似。預設付款 $ D_n $ 僅在迭代中出現新的預設值時發生 $ n $ . 這種情況發生的機率是在違約前的迭代中獲得各種評級的機率之和，乘以它們各自在另一次迭代中新違約的機率。也就是說，總機率為 $ q_n=\sum_{j=2}^R (M^{n-1}){I,j} M{j,1} $ . 此付款可能發生在任何迭代中 $ n $ 發生在預設值之前，因此您必須合計所有的預設值貢獻 $ n $ 在契約到期之前。
預設腿 $ L_D = \sum_{n=1}^N PV_n q_n D_n $ 的價值等於這些付款的總和乘以它們發生的機率。
總合約價值現在可以寫成 $ L_D-L_C $ .
從技術上講，這被稱為評級遷移模型，並且被大量用於風險控制。評級路徑形成稱為馬爾可夫鏈的東西。
可以說 CDS 價格是由實物違約機率和風險溢價決定的。
實際違約機率 (PPD) 是公司在給定時間段內違約的實際機率。這純粹是一個理論概念，因為沒有人真正知道這個機率是多少。我們可以使用一些模型或信用評級來估計它，但這只是猜測。
換句話說，如果您準確地知道 PPD，您將能夠計算出盈虧平衡的 CDS 價格。如果您以盈虧平衡價格（在不同的基礎上）寫入大量 CDS，有些會被觸發，有些不會 - 但平均而言，您不會賺錢或虧錢。
當然，這樣做沒有任何意義。因此，您實際上會為每個盈虧平衡價格添加一個保證金，這樣您就可以平均賺錢（再次假設您完全了解 PPD）。這個保證金就是風險溢價。
實際上，您在經濟上受到限制。如果所有底層證券都違約，您將不得不自己違約。如果您有責任心，您將盡最大努力確保這種風險很小。
在現實世界中，存在同儕壓力。如果您是 A 公司的 CEO，並且您看到 B 公司通過編寫 CDS 獲得了大量資金，您可以開始思考“為什麼我們還沒有這樣做？”。最好的情況下你會賺錢並成為一個偉大的 CEO，最壞的情況下你會得到你的金色降落傘……
回到最初的問題。如果您使用信用評級來計算實物違約機率，您會發現 CDS 價格的很多變化是由於風險溢價的變化造成的。真的是這樣，還是基於信用評級的 PD 不准確，不能反映最新的所有可用資訊？
以這種方式過濾的風險溢價不容易用其他宏觀經濟或金融指標來解釋。例如，它與 VIX 高度相關，但仍然有很大不同。
這是金融學術研究的有效領域。您可以查看 Berndt、Douglas 等人的“Measuring Default Risk Premia from Default Swap Rates and EDFs”。人。網上有幻燈片和論文本身（查找最新版本）。