無限期 ZCB 的收益率是多少？
我猜無限期的零息債券的價格應該歸零，那麼它的收益率呢？我問這個是因為我在處理收益率曲線及其漸近特性時 $ t\to\infty $
這是銀行做得不好的事情（在我看來），但我們可以向保險業尋求幫助。
- 保險負債通常跨越數十年，監管提出了一種稱為終極遠期利率（或 UFR）的東西。隨著 Solvency II（保險監管）於 2016 年 1 月 1 日生效，目前這是一個備受爭議的話題。這是因為 UFR 並不總是著眼於長期利率，而是更多地著眼於適當的負債貼現率。
- 保險業首選的曲線擬合方法是 Smith-Wilson 模型，它以 UFR 作為輸入。
希望這是您研究的有用起點。
最後，無限期債券收益率的實際價值是無關緊要的。只要你的無限年遠期利率是合理的（即不是 $ \infty $ ）， 然後 $ \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-rt} = 0 $ 反正。
雖然這是真的
$$ \lim_{T\to\infty} Z(t, T) = \lim_{T\to\infty} e^{-r(T-t)} = 0 $$這是什麼時候 $ r $ 與到期時間無關，收益率曲線平坦且恆定。在實踐中，我們使用收益率曲線，該曲線根據估計的日期和 ZCB 的到期日而變化。如果事實上 $ r(t, T) $ 取決於今天和成熟度，然後該功能的屬性將確定限制是什麼。當然，任何允許無限期 ZCB 的非零價格的模型都承認套利。 在這種情況下，通常使用Nelson Siegel 和 Nelson Siegel Svensson （原始論文）模型
$$ r(t, T) = \beta_0 + \beta_1{1-\exp(-(T-t)/\tau)\over(T-t)/\tau} + \beta_2\left({1-\exp(-(T-t)/\tau)\over(T-t)/\tau}-\exp(-(T-t)/\tau)\right) $$ 在這個模型的情況下 $ \lim_{T\to\infty}r(t, T) = \beta_0 $ 每當 $ \tau > 0 $ 所以
$$ \lim_{T\to\infty}Z(t, T) = \lim_{T\to\infty} e^{-r(t, T)(T-t)}=0 $$每當 $ \beta_0 > 0 $