為什麼債券免疫沒有考慮債券時間價值風險？
我知道債券投資組合免疫包括久期和（如果對沖期較長）凸性匹配。這相當於對短期利率取債券組合價格的一階和二階偏導數。我想我們是否也應該看一下債券價格的時間價值增量，它是債券價格的時間偏導數，就像期權價格中的 theta。對於希臘人選項，Theta、Delta 和 Gamma 通過估值或在 Black-Scholes 方程的簡單設置中相關。但是，債券似乎沒有這種關係。還是我弄錯了？
在實踐中，人們確實會查看債券投資組合的時間衰減，如下所示： 通常計算“套利”，這意味著假設所有期限的債券收益率保持不變，第二天的損益。這個假設與理論有些衝突，因為更有可能的情況是債券收益率移動到前一天計算的遠期收益率，但人們就是這樣做的。
債券中沒有真正的期權風格時間衰減的概念，因為沒有波動性輸入來計算債券價格。這是因為我們假設債券價格（和遠期利率）是給定的，因此當利率波動發生變化時它們不會發生變化。可以說，這一假設可能會受到挑戰。
假設短期利率 $ r $ 遵循擴散過程
$$ dr=\mu dt+\sigma dB $$ 在哪裡 $ B $ 是標準的布朗運動。債券投資組合的價格 $ P(r(t),t,T) $ 有時 $ t $ 適時成熟 $ T $ 跟隨 $$ dP=\frac{\partial P}{\partial t} dt+\frac{\partial P}{\partial r}dr+\frac12\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}dr^2=\Big(\frac{\partial P}{\partial t}+ \frac12\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+\mu\frac{\partial P}{\partial r}\Big)dt+\sigma\frac{\partial P}{\partial r}dB. $$ 注意：通常情況下並不正確 $ \frac{\partial P}{\partial t}=rP $ . 使用類似於推導 Black-Scholes 方程的對沖參數，我們推導出債券價格的 PDE
$$ \frac{\partial P}{\partial t}+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+(\mu-\lambda\sigma)\frac{\partial P}{\partial r}-rP=0, $$ 在哪裡 $ \lambda $ 是市場風險溢價。因此，就像希臘人的股票期權定價 $$ \Theta+\sigma^2C-(\mu-\lambda\sigma)D-r=0 $$ 在哪裡 $ \Theta=\frac{\partial P}{P\partial t} $ , $ C $ 是持續時間和 $ D $ 債券組合的凸性。 將債券 PDE 代入 $ dP $ ， 我們有
$$ dP=\Big(rP+\lambda\sigma\frac{\partial P}{\partial r}\Big)dt+\sigma\frac{\partial P}{\partial r} dB. $$ 所以當投資組合的久期 $ \frac{\partial P}{\partial r} $ 使之消失，總導數 $ dP=rPdt $ ，投資組合成為現金賬戶。因此，換句話說，對於連續時間套期保值，投資組合可以由一個久期與債券組合的久期相匹配的債券和一個現金賬戶來表示。 $$ P(r(t),t,T)=\mathbf E\big[e^{-\int_t^T r}\big|r(t)\big] $$ 是零息債券的 PDE 的解。我們將證明上述表達式暗示了鍵 PDE。 $$ P(r(t),t,T)=\mathbf E\big[e^{-\int_t^sr}\mathbf E[e^{-\int_s^Tr}|r(s)]\big|r(t)\big]=\mathbf E\big[e^{-\int_t^sr}P(r(s),s,T)\big|r(t)\big] $$ $ u(r(s),s):=e^{-\int_t^sr}P(r(s),s,T) $ 是鞅。將伊藤引理應用於 $ u(r(s),s) $ ， 我們有 這本質上是費曼-卡茨公式的一個特例的推導。
現在對於離散時間套期保值，我們將最小化整個投資組合（原始債券投資組合和對沖投資組合）的價格差異的變異數，我們額外要求 $ \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}=0 $ — 這個聲明需要重新考慮，稍後 — 債券 PDE 變為 $ \displaystyle\frac{\partial P}{\partial t}=rP $ . 為此，我們需要為代理投資組合再發行一隻債券。