為什麼我需要花哨的方法來計算均值回歸的半衰期？
我正在研究計算均值回复系列的均值回复半衰期的方法。我遇到了像 Ornstein – Uhlenbeck Process 和各種類型的回歸來估計這個值（半衰期）。
我想了解的是：如果我有一個系列，為什麼我不能以簡單/愚蠢的方式推斷半衰期，只計算系列期間發生了多少均值回歸併將其除以 4 得到半衰期？這不是計算該系列均值回歸的平均半衰期的經驗正確方法嗎？通過使用所有這些更高級的數學，我能得到什麼？
例如，如果我有一個 1000 個週期長的序列，並且發生 5 個反轉……這並不意味著平均而言，一個完整週期平均需要 200 個週期，這意味著半衰期（值被拉出的時間回到平均值的一半）平均有 50 個週期？我想我假設一個對稱結構（遠離平均速度與走向平均速度相同），但這種方法有什麼根本錯誤？
我認為你關於半衰期的概念很有趣，但從技術上講，這不是半衰期的定義。AR(1) 是查看它的最佳方式，但請記住，無論考慮什麼模型，原理都是相同的。
假設一個有：
$ y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t $
另外，假設 $ y_{0} = 0 $ 並且有一個震驚， $ \epsilon_{0} $ 在 $ t = 0 $ 未來不會有其他衝擊。
然後，半衰期的概念抓住了這個問題的答案：“什麼時候休克的反應變成了最初的一半”。
那麼，什麼時候 $ \epsilon_{0} $ 變成原來的一半？當 $ \phi^{hl} = \frac{1}{2} $ 在哪裡 $ hl $ 是半衰期。
這是為什麼 ？這是因為 AR(1) 可以重寫為
$ y_{t} = \sum_{i=0}^\infty \phi^{i} \epsilon_{t-i} $ .
所以， $ \phi^{i} \epsilon_{t-i} $ 將等於其原始值的一半，當 $ \phi^i = \frac{1}{2} $ .
請注意，可以求解 $ i $ 通過記錄日誌。
我們有， $ i \times \log(\phi) = \log(\frac{1}{2}) \rightarrow \exp(i \times \log(\phi)) = \frac{1}{2} \rightarrow \exp(i) = \frac{1}{2 \times \log(\phi)} \rightarrow i = \exp\left(\frac{\frac{1}{2}}{\log(\phi)}\right) $ .
所以，這就是半衰期公式的來源，假設你已經看到它在時間序列文獻中無處不在。
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編輯：為了將我展示的內容與 OP 正在做的事情聯繫起來。
在這種情況下，如果最初對系統有一次沖擊，之後沒有其他任何事情，那麼，如果使用所示公式計算半衰期，那麼該值將表示該系列返回中途所需的時間衝擊發生後為零（因為零是系列的平均值。如果系列的平均值是別的東西，那麼它將回到那個平均值）。
我認為您的方法是正確的，它只能作為初始狀態的變數的視覺範例 $ x_0 $ 高於均值回歸參數。請注意，半衰期通常定義為從 $ x_0 $ .
想像一下，你從平均值開始（讓我們標記它 $ \mu $ )，那麼你的半衰期就會有一些價值 $ T_{x_0} $ . 請注意，達到該值 $ x_t = x_0 / 2 = \mu / 2 $ 與定義問題的 PDE 的均值回复項背道而馳（因為您的狀態變數將遠離其均值回复值）。
現在想像你從 $ x_0 = \mu / 2 $ . 那麼你的半衰期會更長，因為達到 $ x_t = \mu / 4 $ 意味著與 PDE 相比，PDE 中的均值回复項加倍 $ x_0 = \mu $ 案子。
時間參數取決於起點。如果 $ x_0 > \mu $ ，然後均值回复項將推動狀態變數達到其值的一半（使半衰期變短）。如果 $ x_0<\mu $ ，那麼 PDE 中的均值回歸項將推動 $ x_t $ 遙不可及 $ x_t = x_0/2 $ .
如您所見，隨著初始值變小，半衰期可能會趨於無窮大（與 $ \mu $ ).