均值變異數
GMV 投資組合與任何資產的共變異數
為什麼有效前沿的全域最小變異數 (GMV) 投資組合與任何資產的共變異數總是相同的？
這是完整的數學證明。設g為 GMV 投資組合，p為另一種資產。
我們有：
$$ \begin{align*} Cov(x_g, x_p) &= E[{w_g}^T (x- \overline{x}) {(x- \overline{x})}^Tw_p]\ &= {w_g}^TE[(x- \overline{x}) {(x- \overline{x})}^T]w_p\ &= {w_g}^T\Sigma w_p \ &= (\displaystyle\frac{{i}^T {\Sigma}^{-1}}{C})\Sigma w_p\ &= \displaystyle\frac{{i}^Tw_p}{C}\ &= \displaystyle\frac{1}{C} \end{align*} $$ 在哪裡 $ C = 1^T {\Sigma}^{-1} 1 $
這是一個更定性的證明：假設全球 MVP 與其他兩個投資組合有兩個不同的共變異數。這意味著使用這 3 種資產的額外多樣化將導致投資組合的變異數低於全球 MVP 的變異數。這與全域 MVP 對於給定共變異數矩陣的回報變異數最小的事實相矛盾 $ \Sigma $ . 因此，全球 MVP 與任何其他資產或投資組合的共變異數是恆定的。