這個實現的“高效”前沿合理嗎？
我已經通過每月重新平衡對均值變異數優化進行了一些樣本外分析。研究“已實現的有效前沿”，我擔心出了什麼問題。
由於邊界是“已實現的結果”，我知道邊界可能不是有效的，這可以在圖中看到（我們有更高的波動性以獲得更低的回報）。
在閱讀了關於 MVO 樣本外性能的研究後，他們通常會獲得凸的邊界並且與理論一致（即更多的風險通常意味著更多的回報）。
我需要關於上圖的第二個意見，它是一個合理的形狀嗎？
圖中的數字是投資組合優化期間的目標波動率，圖之間的差異是我用來估計共變異數矩陣的方法。
沒有什麼是“錯誤的”，因為你的發現是不合時宜的，但有一個非常深刻的問題是錯誤的。我為此寫了一組論文。由於您不是學生，而是嘗試使用它的人，因此我將以輕量級的方式解釋出了什麼問題。
統計學有三個主要分支。按照發現的順序，它們是貝氏、概似論和頻率論。也有一些小的思想流派。貝氏學派真的應該被稱為拉普拉斯學派。貝氏學派試圖解決這個問題 $ \Pr(\theta|X) $ . 另外兩所學校試圖解決 $ \Pr(X|\theta) $ ， 在哪裡 $ \theta $ 是（是）一些感興趣的參數和 $ X $ 是一組數據。
這很重要，因為他們認為不同的事物是隨機的。對於貝氏學派，參數是隨機的，因為你不知道哪個是參數的真實值。對於頻率學派，參數是固定的，並且在隨機微積分中被視為已知。這很關鍵，因為人類沒有真正的長期回報和真正的長期共變異數矩陣。
黑色 CAPM 可以構造為
$$ \min_{s’}s’\Sigma{s} $$受制於$$ s’\underline{1}=1 $$和$$ E(s’(\mu+\epsilon))=\mu_{portfolio} $$其中 s 是資產配置向量， $ \mu $ 是真正的回報， $ \Sigma $ 是共變異數矩陣， $ \underline{1} $ 是一個向量，並且 $ \epsilon $ 是衝擊向量。問題是我已經證明這個問題沒有解決方案。CAPM 沒有有效的解決方案，因為這些值並不是真正已知的。 現在這聽起來可能很挑剔，但它背後有一組定理。貝氏方法使用統計數據的方式與非貝氏方法使用統計數據的方式完全不同。統計數據幾乎是事後的想法，而不是該方法的關鍵。因為統計是非貝氏方法的關鍵要素，所以數學家開始詢問是什麼使統計成為有效的統計。例如為什麼不 $ \sum\sin(x_i) $ 均值的有效估計？為什麼你不能使用它？證明給我看！
亞伯拉罕沃爾德在 1940 年通過完全類定理解決了這個問題。類中的任何東西都是有效的，解決方案類之外的任何東西都是無效的。他使用頻率論公理做到了這一點。令他震驚和驚訝的是，他發現所有貝氏解決方案都在類內。他還發現，任何與貝氏解決方案不匹配的解決方案，無論是針對特定數據集還是無限重複的限制，都在類之外。
現在這很難談論，除非我們一次談論一項資產。使用 Markowitz 的假設，讓我們想像一隻股票的財富很好地建模為
$$ \tilde{w}=R\bar{w}+\epsilon. $$ 這相當於時間序列，將股票數量始終視為 1，以$$ p_{t+1}=Rp_t+\varepsilon_{t+1}. $$ 儘管我已經寫了一個證明，顯示了雙重拍賣，忽略了流動性和破產風險， $ \varepsilon $ 必須是正常的，我們只是假設正常。 給定的回報觀察 $ r_t $ 可以認為是 $ p_{t+1}/p_t-1. $ 如果我們改為查看獎勵 $ R_t=1+r_t $ ，那麼我們只有未來值除以現值。如果您要購買資產，是時候了 $ t-1 $ 那麼在 Markowitz 的假設下，您無法知道確切的購買或銷售價格。這使得分子和分母成為聯合正態分佈的隨機變數。在 Markowitz 的假設下，獎勵比率的分佈是
$$ \frac{1}{\pi}\frac{\Gamma}{\Gamma^2+(R_t-\mu)^2}. $$ 如果你計算 R 的期望值，你會發現它不存在。因此，您不能抱有期望。該模型不能作為使用期望的貝氏模型來求解，因此該模型在任何學校都沒有有效的解決方案。White 在 1958 年有一個概似論證明，說 R 的估計量是最小二乘運算元，但抽樣分佈是柯西分佈，因此不存在估計過程。頻率主義者也存在同樣的問題，因為沒有變異數可以最小化。
您可以在以下網址找到正式論文： https ://ssrn.com/abstract=2828744 和 https://ssrn.com/abstract=2656681。
此外，我已經寫了一篇論文來替換期權定價模型，並且我正在準備一篇關於主觀最優投資組合建構以及使用新運算符擴展隨機演算的論文。
簡而言之，你不能這樣做來找到一個“有效邊界”。
你到底看了什麼研究？
當參數需要估計或預測或有雜訊時，有幾篇論文著眼於樣本外邊界。（然而，這些論文通常使用蒙地卡羅設置，而不是真實數據。）
結果總是一樣的：樣本外邊界通常不顯示風險和回報之間的單調關係。換句話說，更多的風險並不一定意味著更多的回報。此類論文的一個例子是Mark Broadie (1993) – Computing Efficient Frontiers Using Estimated Parameters