證明均值變異數機會集是封閉的
在 Hens 和 Rieger 的《金融經濟學》（2010 年）一書中，第 101 頁我們發現了以下引理 3.1：如果我們擁有有限數量的資產，則最小變異數機會集是閉合且連通的。
我們有： K 個資產，一系列點 $ x_n = (\mu_n, \sigma_n) (n=1,2,…) $ 在機會集與 $ x_n\rightarrow x= (\mu,\sigma) $ ， 每個 $ x_n $ 對應於以資產權重為特徵的投資組合 $ \lambda_1^n,…,\lambda_K^n $ 和 $ \lambda_k^n\geq 0 $ 對所有人 $ k = 1,…,K $ 和 $ \sum_{k=1}^{K}\lambda_k^n=1 $
均值-變異數-機會集是封閉的證明，說明資產權重的向量 $ \lambda = (\lambda_1^n, … ,\lambda_k^n) $ 適合所有人 $ n\in \mathbb{N} $ 在一個緊湊的集合中。證明是否推斷出因為 $ \lambda $ 是緊湊的（即封閉和有界），機會集也必須是封閉的？為什麼任意點 $ x_n\rightarrow x= (\mu,\sigma) $ ?
所以設置如下。我們有一張地圖 $ F: A \to \mathbb{R^2}, \lambda \to (\mu_\lambda, \sigma_\lambda) $ 在哪裡 $ \mu_\lambda, \sigma_\lambda $ 是具有權重的投資組合的均值和變異數 $ \lambda $ 和 $ A={\lambda_1, \ldots, \lambda_K|\lambda_i \geq 0 \text{ and } \sum_i \lambda_i=1} $ . 考慮一個序列 $ (\mu_n, \sigma_n) $ 收斂到 $ (\mu,\sigma) $ . 由於它們是投資組合的結果，因此它們在 $ F $ . 取一個點 $ \lambda^n \in F^{-1}((\mu_n, \sigma_n)) $ . 然後 $ (\lambda^n)_{n} $ 是一個序列 $ A $ . 自從 $ A $ 有界存在一個收斂子序列 $ (\lambda^{n_i})_i $ . 自從 $ A $ 關閉這個序列的極限 $ \tilde{\lambda} $ 在 $ A $ 。自從 $ F $ 是連續的，我們有
$$ F(\tilde{\lambda})= F(\lim\limits_{i\to \infty} \lambda^{n_i}) =\lim\limits_{i\to \infty} F(\lambda^{n_i}) = \lim\limits_{i\to \infty} (\mu_{n_i}, \sigma_{n_i}) =\lim\limits_{n\to \infty} (\mu_{n}, \sigma_{n}) = (\mu,\sigma) $$
所以我們找到了一個帶權重的投資組合 $ \tilde{\lambda} $ 具有極限的均值和變異數。因此均值變異數機會集是封閉的