Markowitz 框架中的強韌貝氏優化
假設我們處於帶有收益向量的均值變異數優化設置中 $ \alpha $ 和投資組合權重的向量 $ \omega $ .
在穩健的環境中，假設收益位於某個不確定區域內。我遇到了一篇論文，它讓這個區域，稱之為 $ U $ , 由以中心為中心的球體給出 $ \alpha $ 帶半徑 $ \chi|\alpha| $ 在哪裡 $ \chi $ 介於 0 和 1 之間。
然後作者將注意力轉向：
$ \min_U r_{p} $
並最終得到以下解決方案：
$ \min_U r_{p}=\alpha^\intercal\omega-\chi|\alpha||\omega| $ … … … (1)
他們沒有提供關於他們如何得出的詳細資訊，但提到以下內容：“這個不確定性區域對應於不確定性的貝氏先驗下的一個 sigma 鄰域。 $ \alpha $ 關於估計的正態分佈 $ \alpha $ ， 和 $ \sigma=\chi|\alpha| $ ……”
有誰知道他們是如何得出等式（1）的？？？提前致謝！
在強韌優化中，真正的回報是未知的，我們只有一個先驗 $ \alpha $ 並且您必須考慮可能會降低真實回報的可能錯誤估計。這是在假設後驗回報將在先前回報內的情況下完成的 $ \alpha $ 加上減去一些錯誤 $ \sigma $ -間隔。
現在嘗試更正式的答案：後驗返迴向量估計為
$ \vec{\alpha} +\vec{\chi}\cdot|\alpha| $ (1)
和 $ |\vec{\chi}|\leq 1 $ , 或等效地 $ \vec{\chi}^{2} \leq 1 $ . 這準確地描述了一個球體 $ \vec{\alpha} $ . 現在返回是返迴向量的乘積 $ \vec{\alpha}+\vec{\chi}\cdot|\alpha| $ 乘以權重向量 $ \vec{\omega} $ :
$ r=(\vec{\alpha}+\vec{\chi}\cdot|\alpha|)\cdot\vec{\omega}=\alpha^{T}\omega+\chi^{T}\omega|\alpha| $ . (2)
這裡， $ \vec{\chi} $ 可以有任何方向。我們想要第二個任期的最小值。 $ \alpha^{T}\omega $ 是最小的，如果 $ \vec{\alpha} $ 和 $ \vec{\omega} $ 看相反的方向（內積的性質），因此
$ \min_U r_P=\alpha^{T}\omega-\chi|\alpha| |\omega| $ . (3)
第一項只是 $ \vec{\alpha} $ 和 $ \vec{\omega} $ , 所以可以寫成 $ |\alpha||\omega|\cos(\phi) $ 在哪裡 $ \phi $ 是兩個向量之間的角度（n 維）。這是 Golts 和 Jones 工作文件中的下一個等式：
$ \min_U r_P=|\alpha||\omega|(\cos(\phi)-\chi) $ . (4)