為什麼 Markowitz 均值變異數模型需要正態性假設？
給定 $ N $ 資產，Markowitz 均值變異數模型需要預期收益、預期變異數和 $ N \times N $ 共變異數矩陣。聯合分佈完全由這些措施定義。
然而，我經常讀到資產需要服從正態分佈才能在均值變異數模型中考慮。雖然我知道正態聯合分佈完全由上述統計數據定義，但我真的不明白為什麼需要正態性。
我們不能簡單地假設分佈完全由 $ \mu $ , $ \sigma^2 $ 和 $ \Sigma $ ，並不一定意味著正常？也就是說，一個明顯的缺點是沒有考慮影響資產的更高時刻，例如偏度和峰度，但為什麼正態性是一個假設？
它不需要常態。它要求的是投資者的決策是由均值和變異數決定的。
正態分佈是由均值和變異數決定的，所以如果你假設聯合正態性，那麼投資者對其他任何事情都沒有興趣。
（我們嘗試在我們的《數學投資組合理論導論》一書中徹底討論假設。）
投資組合優化技術，例如在現代投資組合理論 (MPT) 下定義的技術，是基於聯合正態性假設的。即使有一組組合權重可以最小化變異數而不管基礎分佈如何，但如果聯合多元分佈是正態的，相關性只是一個完整的關聯度量；即，如果聯合分佈本身是正態的，共變異數只是協動的詳盡度量。我們可以看到這是正確的，因為 X 和 Y 的聯合分佈由聯合正態性定義：
$ {\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\iint _{X,Y}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {X^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-{\frac {2\rho XY}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\right)\right],\mathrm {d} X,\mathrm {d} Y $
通過一個證明可以證明產生：
$ \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}}, $
如果現在，我們定義 $ \omega_i \sigma^2_i=\sigma_X $ ， 和 $ \omega_j \sigma^2_j=\sigma_Y $ ，然後我們得到作為兩個資產組合的均值變異數優化基礎的方程：
$ \mathbb{E}[\sigma {p}^{2}]=\omega{i}^{2}\sigma {i}^{2}+\omega{j}^{2}\sigma {j}^{2}+2\omega{i}\omega_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij} $
因此，儘管始終可以計算投資組合共變異數矩陣，但如果標的資產具有不正常的回報，則優化可能會導致虛假的最優權重。