均值變異數分析：以下練習的解告訴我什麼？

我是新來的，我希望這是提出這個問題的合適董事會。我在大學二年級，在資訊學 II 課程中，講師讓我們解決了 R 中兩種資產的以下均值變異數分析：

1. 我們創建了以下矩陣 $ A $ :$$ A=\begin{bmatrix} 2\sigma_{11}&2\sigma_{12} &-\overline{r}1 &-1 \ 2\sigma{21}& 2\sigma_{22} & -\overline{r}_2 & -1\ \overline{r}_1&\overline{r}2 &0 &0 \ 1& 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.0002310968 & 0.0002230081 & -0.0003322979 &-1 \ 0.0002230081& 0.0003104519 & 0.0004241650 &-1 \ -0.0003322979& -0.0004241650 & 0 & 0\ 1& 1& 0& 0 \end{bmatrix} $$ 在哪裡： $ 2\sigma{ij} $ 表示共變異數資產之間的收益率 $ i $ 和 $ j $ ， 和 $ \overline{r}_i $ 表示資產的預期收益率 $ i $ ;
2. 我們創建了以下向量 $ b $ :$$ b=\begin{bmatrix} 0\ 0\ \overline{r}\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\ 0\ 0.35\ 1 \end{bmatrix} $$在哪裡： $ \overline{r} $ 是預期的投資組合回報；
3. 我們解決了 $ A^{-1}b $ 尋找向量 $ x $ 定義為：$$ x=\begin{bmatrix} w_1\ w_2\ \lambda\ \mu \end{bmatrix} $$
4. 我們發現：$$ x=\begin{bmatrix} 3814.468561\ -3813.468561\ -3965.712523\ 1.348875 \end{bmatrix} $$

這些數字的財務含義是什麼（ $ w_1 $ , $ w_2 $ , $ \lambda $ , $ \mu $ )?

感謝你的回答。

根據您概述解決方案的方式，您正在計算具有最小風險和目標回報的平均變異數投資組合 $ \overline{r} $ .

我會說您正在使用拉格朗日乘數法解決優化問題，給定矩陣 A 的值。

$ \lambda $ 和 $ \mu $ 是拉格朗德乘數：這些參數衡量拉格朗日函式對均變異數問題約束的敏感性，即

1. 均值變異數投資組合的回報必須等於 $ \overline{r} $ : $$ w_1 \overline{r}_1 + w_2 \overline{r}_2 = \overline{r} $$
2. 權重之和 ( $ w_1 $ 和 $ w_2 $ ) 必須等於 $ 1 $ : $$ w_1 + w_2 = 1 $$

從約束中可以理解為 $ w_1 $ 和 $ w_2 $ 是平均變異數投資組合中資產的權重​​：您應該購買 $ 3814.468561 $ 資產 1 的單位，你應該賣空 $ 3813.468561 $ 資產單位 2。

$ \lambda = -3965.712523 $ 和 $ \mu = 1.348875 $ 表明拉格朗日函式對約束 1 具有強烈的負敏感性，對約束 2 具有正的低敏感性。這意味著約束 1 是優化解決方案的真正驅動因素（非常高的絕對值）；負號表示拉格朗日函式在 $ w_1 \overline{r}_1 + w_2 \overline{r}_2 - \overline{r} $ 增加（這只是重寫了約束 1），即投資組合回報高於目標回報，\overline{r}，在優化期間得到獎勵。

總結， $ w_1 $ 和 $ w_2 $ 具有財務意義（您應該購買每種資產的多少單位），而 $ \lambda $ 和 $ \mu $ 給出關於優化過程的提示（約束如何與目標函式相互作用）。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/15254