穆特-米爾斯模型
我正在探索 Brueckner文章中介紹的 Muth-Mills 單中心城市模型。
假設消費者獲得相同的收入 $ y $ 併購買 $ q $ 有價買房 $ p $ 在遠處 $ x $ 從中心，同時產生運輸成本 $ tx $ .
消費者也有效用函式
$$ v(c,q)=v(y−tx−p(ϕ)q(ϕ),q(ϕ))=u $$ 在哪裡$$ ϕ=x,y,t,u $$ 他們最大化 $ q $ 受預算約束
$$ c=y−tx−pq $$
一階條件意味著 $ \frac{v_2(y−tx−pq,q)}{v_1(y−tx−pq,q)}=p $ .
我能夠計算出 $ \frac{∂p}{∂γ},γ=x,y,t $ 但我想知道布魯克納是如何得出這個結論的 $ \frac{∂q}{∂γ}=η\frac{∂p}{∂γ} $ .
我相信這個問題與這裡問題的第二部分相同，但尚未得到回答，這就是為什麼存在這篇文章的原因。任何幫助，將不勝感激！
定義邊際替代率 $ MRS = \frac{v_2}{v_1} $ . 這給出了最優選擇處的無差異曲線的斜率。對於固定效用水平 $ u $ ，這是一個函式 $ q $ 獨自的。的價值 $ q $ 本身是所有外生參數的函式（比如 $ \gamma $ ).
鑑於此，一階條件可以寫為： $$ \left.MRS(q(\gamma))\right|u = p(\gamma). $$ 對兩邊取導數 $ \gamma $ 給出： $$ \left.\frac{\partial MRS(q)}{\partial q}\right|{u} \frac{\partial q}{\partial \gamma} = \frac{\partial p}{\partial \gamma}. $$ 由此可知： $$ \frac{\partial q}{\partial \gamma} = \eta \frac{\partial p}{\partial \gamma}, $$ 在哪裡 $ \eta = \left(\left.\frac{\partial MRS(q)}{\partial q}\right|_{u}\right)^{-1} $ 如 Brueckner 連結文章的腳註 3 所示。
請注意，一般來說， $ \eta $ 將是 $ q $ 因此對於所有外生變數（包括 $ \gamma $ ）。因此，它不一定是一個固定的數字。