改變MC對壟斷者利潤最大化的影響
假設壟斷者有恆定的 MC = c，沒有固定成本。如果 $ p(c) $ 和 $ q(c) $ 是利潤最大化價格和產量作為 MC 的函式，市場需求計劃由下式給出 $ q = D(p) $ ，壟斷者的利潤如何隨著 MC 的微小變化而變化？這是我到目前為止所擁有的：
最大化利潤由下式給出：
$$ π = p(c)q(c) - cq(c) $$
區分 wrt c：
$$ \frac{dπ(c)}{dc} = q(c)[p’(c) - 1] + q’(c)[p(c) - c] $$
第一學期 $ q(c)[p’(c) - 1] $ 顯然是積極的，因為 $ q(c) > 0 $ 對於壟斷者 $ [p’(c) - 1] $ 也是積極的，因為：
$$ p(c) = \frac{c}{1+\frac{1}{Ɛ}} $$
$$ p’(c) = \frac{1}{1+\frac{1}{Ɛ}} $$
並且為了有一個利潤最大化的產出水平， $ Ɛ < -1 $
$$ p’(c) = \frac{1}{1+\frac{1}{Ɛ}}> 1 $$
對於第二個任期， $ q’(c) $ 顯然是負面的，因為較高的 MC 會導致較高的價格，因此會導致較低的數量。 $ [p(c) - c] > 0 $ 因為對於壟斷者 $ p > MC = c $ .
在這個階段，MC 上升對利潤的影響是模棱兩可的，因為這兩個項具有相反的影響（一個是正的，另一個是負的）並且利潤如何變化取決於這兩個項的大小。我們如何量化影響或至少知道這兩個項的相對大小，以找出利潤將如何變化為 MC 的增加？
如果 MC 增加，利潤需要下降。讓 $ \pi (q(c)) $ 和 $ \pi’ (q(c’)) $ 表示成本增加前後的利潤。觀察生產 $ q(c’) $ 當邊際成本很低時是可行的，因此，必須是這樣的情況
$$ \pi (q(c))=[p(q(c))-c]q(c)\geq[p(q(c’))-c]q(c’). $$
此外，我們有
$$ [p(q(c’))-c]q(c’)>[p(q(c’))-c’]q(c’)=\pi’ (q(c’)), $$
這給了我們 $ \pi (q(c))>\pi’ (q(c’)). $