是否有任何研究、理論或任何東西表明市場必須在少數幾家公司的控制下才能成為反對自由市場的力量？
根據自由市場
自由市場是一種商品和服務價格由公開市場和消費者決定的體系。在自由市場中，供求規律和力量不受政府或其他當局的任何干預，不受任何形式的經濟特權、壟斷和人為稀缺的影響
壟斷和寡頭壟斷是反對自由市場的力量，是否有任何研究、理論或任何東西表明少數公司必須擁有多少市場才能改變自由市場法律/規則？
問題中的引述對於什麼是自由市場並不是很嚴格，但它談到了壟斷和人為稀缺性，所以我將價格等於邊際成本的有效結果解釋為他們所理解的一個必要特徵自由市場。
讓我們看一下競爭的古諾模型。有 $ n $ 公司，每個公司都有特殊的邊際成本 $ c_i $ . 每個企業同時選擇其產出（供給）數量， $ q_i $ . 鑑於消費者的需求，這導致了一些市場價格 $ P(Q) $ ， 在哪裡 $ Q=\sum_{i=1}^n q_i $ 是工業總產值。我們預計需求曲線將向下傾斜： $ P’(Q)<0 $ .
因此，企業的利潤為 $$ \pi_i(q_i,\mathbf{q}_{-i})=\left(P(Q)-c_i\right)q_i. $$ 利潤最大化的一階條件是 $$ \frac{\partial\pi_i}{\partial q_i}=P(Q)-c_i+\frac{\partial P(Q)}{\partial q_i}=0. $$ 注意到$$ \frac{\partial P(Q)}{\partial q_i}=\frac{\partial P(Q)}{\partial Q}, $$ 一階條件可以重寫為 $$ \frac{P(Q)-c_i}{c_i}=-\frac{\partial P(Q)}{\partial Q}\frac{Q}{P(Q)}\frac{q_i}{Q}, $$ $$ \frac{P(Q)-c_i}{c_i}=-\frac{1}{\eta}m_i, $$ 在哪裡 $ \eta $ 是需求的價格彈性和 $ m_i=q_i/Q $ 是堅定的 $ i $ 的市場份額。
左邊衡量一個公司的價格成本邊際，或它的市場力量。我們可以通過按每家公司的市場份額加權來計算該行業的平均市場力量：
$$ \text{avg market power}=\sum_i m_i \frac{P(Q)-c_i}{c_i}=-\frac{\sum_i m_i^2}{\eta}. $$
注意 $ \sum_i m_i^2 $ 是市場的 HHI 指數。所以這個等式告訴我們，一個行業的平均市場力量將與 HHI 正相關。**對於任何正的 HHI，都會有正的加成，市場將偏離不存在人為稀缺的完全競爭結果。**換句話說，只有當有無限數量的公司，每家都控制著無限小的行業份額時，我們才能獲得教科書般的完全競爭結果。