壟斷只是數學上的誤解
有點頭疼（以及為什麼我們應該小心符號的一個很好的例子）。
考慮一個利潤最大化的壟斷，它解決了價格問題
$$ \max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1} $$ 按照正常步驟（見這篇文章）
我們得出了一個重要的結果，即在利潤最大化的價格下，需求的價格彈性應該高於 $ 1 $ 絕對值或低於 $ -1 $ 在代數方面。即在我們擁有的利潤最大化的價格
$$ \eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q $$ $$ \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2} $$ 但 $ \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q $ 是的導數 $ PQ(P) $ 和 $ PQ(P) = TR $ ， 總收入。所以 $ \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR $ , 邊際收益，我們剛剛在利潤最大化的價格下得到了，為了彈性大於 $ 1 $ 在絕對意義上，我們必須有 $ MR^* <0 $ .
但我們現在也知道在利潤最大化點我們有 $ MR^=MC^>0 $ .
所以解決方案不存在，因此我們得出結論，壟斷只是一種數學誤解。
現在，我遇到了麻煩（？）來寫這個傻笑的文章，我希望有人能在幾十秒內寫一個明確的答案，指出訣竅在哪裡。
$ PQ(P)=TR $ ， 總收入。
$ \frac{∂Q}{∂P}P+Q $ 是的導數 $ PQ(P) $ 關於 $ P $ .
$ MR $ , 邊際收益, 是 $ TR $ 關於 $ Q $ .
所以總的來說 $ \frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR $
為了補充@AdamBailey 中肯的回答，這篇文章的目的是提醒感興趣的讀者註意改變我們思維中的決策變數的後果。
我們習慣於將需求視為“價格取決於數量”或“數量取決於價格”。但在生產成本方面，我們自動傾向於根據數量而不是售價來考慮成本。
因此，即使是有點乏味的顯式符號也會得到回報（詢問那些關於動態優化的人，例如Caputo 的書）。在具體範例中，符號 $ TR $ , $ MR $ , $ MC $ ，不要透露決策變數，這就是詭計的基礎。但是如果，我們寫
$$ \max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)] $$
我們會清楚地表明我們的最終決策變數是價格，所以
$$ f.o.c: ;;;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0 $$
$$ \implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q) $$
同時我們也會清楚地看到
$$ \frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q $$
因此，對需求價格彈性的要求導致
$$ \frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0 $$
（自從 $ \frac {\partial Q}{\partial P} <0 $ ）。所以在最優點，關於數量的邊際收益應該是正的，但是關於價格的邊際收益應該是負的。