外匯期貨定價公式
我正在閱讀 Paul Wilmott 的 Introduces Quantitative Finance 並堅持使用公式 $ F = S(t)e^{(r-r_f)(T-t)} $ 用於外匯期貨定價。我不明白如何合併 $ r_f $ 進入公式，你能幫忙嗎？書中有對簡單期貨的描述：
我們都知道 $ F, S(t), t $ 和 $ T $ ，但是他們之間有什麼關係嗎？您可能不這麼認為，因為遠期合約使我們有權獲得一筆金額 $ S(T) − F $ 到期時，這是未知的。然而，通過現在進入一個特殊的交易組合，我們可以在未來消除所有的隨機性。這是按如下方式完成的。
簽訂遠期合約。這不會給我們帶來任何前期成本，但會使我們面臨到期資產價值的不確定性。同時出售資產。當您出售您不擁有的東西時，這被稱為做空。這在許多市場都是可能的，但有一些時間限制。我們現在有一個金額 $ S(t) $ 由於出售資產、遠期合約和空頭資產頭寸而產生的現金。但我們的淨頭寸為零。把現金存入銀行，收取利息。
當我們到期時，我們交出金額 F 並收到資產，這將取消我們的空頭資產頭寸，無論 $ S(T) $ . 到期時，我們將獲得保證 $ −F $ 現金和銀行賬戶。保證這個詞很重要，因為它強調它獨立於資產的價值。銀行賬戶包含一筆金額的初始投資 $ S(t) $ 加上利息，這在到期時的價值為 $$ S(t)e^{r(T-t)} $$ 因此，我們在到期時的淨頭寸為 $$ S(t)e^{r(T-t)} - F $$
由於我們從一個價值為零的投資組合開始，最終得到一個可預測的金額，因此該可預測的金額也應該為零。我們可以得出結論 $$ F = S(t)e^{r(T-t)} $$
你見過股息收益率的股票公式嗎 $ q $ 彈出？同樣的想法在這裡也適用，並且更普遍地是持有成本概念的一部分。一般來說，$$ F_t=S_te^{b(T-t)}, $$在哪裡 $ b $ 是攜帶成本，即$$ b=\text{Cost from holding the asset} - \text{benefits from holding the asset}. $$
對於股票，您獲得股息收益率 $ q $ 但你必須“支付”無風險利率 $ r $ 因為您不能投資於無風險的銀行賬戶（所謂的機會成本）。因此， $ b=r-q $ .
對於外幣投資， $ r=r $ 和 $ q=r_f $ . 這意味著，如果您居住在英國並且您在美國投資並且如果美元/英鎊增加，您將賺到額外的錢！但是，如果英鎊/美元上漲，您就會賠錢。因此，您的機會成本仍然是對國內市場的投資，有收益 $ r $ . 但是，您確實獲得 $ r_f $ 在國外市場，就像你從股票中獲得股息一樣。因此， $ b=r-r_f $ .
編輯
要歸結 Paul Wilmott 的範例，請考慮以下範例。假設你來自美國，但碰巧有 1 英鎊。你能用這筆錢做什麼？
- 案例1）立即兌換成美元並保留美元直到結束。
- 案例 2) 保留英鎊，稍後使用遠期進行兌換。
情況 1) 中會發生什麼？
- 當時 $ t $ ： 你有 $ $1\cdot S_t $ ， 在哪裡 $ S_t $ 是目前匯率
- 當時 $ T $ ： 你有 $ $1\cdot S_t\cdot e^{r\cdot (T-t)} $ 因為您以本國貨幣獲得無風險利率
情況 2) 中會發生什麼？
- 當時 $ t $ ：您只需擁有 1 英鎊，然後簽訂一份不花費任何費用的遠期合約
- 當時 $ T $ : 你有1美元 $ \cdot e^{r_f\cdot (T-t)} \cdot F_t $ 在哪裡 $ F_t $ 是遠期匯率和 £1 $ \cdot e^{r_f(T-t)} $ 是積累的資本
由於兩個未來現金流都是以相同的初始財富產生的，因此它們需要相等， $$ \begin{align*} e^{r_f\cdot(T-t)}\cdot F_t = S_t \cdot e^{r\cdot (T-t)} \implies F_t = S_t\cdot e^{(r-r_f) \cdot (T-t)}. \end{align*} $$
威爾莫特的例子是這兩種情況的組合，這樣你的初始財富為零。這總是通過借入或借出一些錢來起作用。