隨機利率下的外匯遠期合約如何定價？
想像空間 Z 面臨外匯風險（即貨幣匯率風險），我們的目標是為此提供對沖解決方案。一種選擇是考慮貨幣遠期合約。我想知道當國內和國外的即期匯率是一個隨機過程時，例如，遵循 Vasicek 模型，我如何得出遠期合約的價值。我應該如何貼現遠期合約的收益以獲得公平的價格？我認為最終價格應該是遠期匯率的函式。
如果我的理解是正確的，對於支付函式，我們有這樣的東西。表示 $ S_T $ T 時刻的即期匯率，K 我們兌換貨幣的執行匯率。然後我們有
回報= $ S_T - K $
或者我應該考慮
回報= $ S_T -F(t, T) $
在哪裡 $ F(t, T) $ 代表遠期匯率。
讓我們表示：
- $ P(s,e) $ : 零息債券價格 $ s $ 成熟的 $ e $
- $ d $ 和 $ f $ 上標：本外幣（您的外匯匯率）。
有罷工的外匯遠期合約 $ K $ 並在 $ T $ 支付以下回報 $ T $ （在 $ d $ 貨幣）： $$ Payoff(T) =(S(T) - K) $$ 所以，它的價格在 $ t $ 是（國內）風險中性測度下的貼現收益： $$ Price(t) = \mathbb{E} \left[ e^{-\int_t^Tr^d(u)du}(S(T) - K) | \mathcal{F}_t \right] $$ 在這裡，切換到（國內）T-forward測量很方便 $ \mathbb{Q}_T^d $ （與現金有關 $ P^d(u,T) $ : $$ Price(t) = P^d(t, T) \mathbb{E}^T \left[ S(T) - K | \mathcal{F}_t \right] $$
現在，期望裡面沒有產品，裡面只剩下FX。我們可以寫： $$ S(T) = S(T)\frac{P^f(T, T)}{P^d(T, T)} $$
分子是可交易的資產。所以，用 numéraire 表示 $ P^d(u,T) $ 它是一個 $ \mathbb{Q}_T^d $ -馬丁格爾，我們得到： $$ Price(t) = P^d (t, T) \left( S(t)\frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)} - K \right)\ $$
在財務方面，這個術語就是您所說的外匯遠期匯率： $$ F(t, T) = S(t)\frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)} $$ 和行使價的遠期合約的價格 $ K $ 是這個外匯遠期和行使價之間的折扣差： $$ Price(t) = P^d(t, T) \left(F(t, T) - K \right) $$