好的量化金融面試問題
我知道有已故 Mark Joshi 的書，網際網路上有很多內容。我認為在這裡另外啟動一個執行緒可能會有所幫助，我們可以在這里分享我們遇到的量化金融中最有趣的面試問題（即社區維基問題：每個答案應該包括一個面試問題（最好有一個答案）：類似於“好的量化金融笑話”）。
即使可能與其他資源有一些重複，也許這個執行緒的額外好處是：
- 該執行緒將反映時尚“目前”的問題
- 作為 Quants 和有抱負的 Quants 的資源，它可能會為 quant.stackexchange 網站增加價值
很高興收到建設性的批評，如果其他人不認為這是一個好主意。
為了開始這個話題，讓我分享一下我最近被問到的面試問題：
問題：將標準布朗運動表示為 $ W(t) $ . 計算以下機率：
$$ \mathbb{P}(W(1)>0 \cap W(2)>0) $$
答案：利用增量屬性的獨立性，我們有 $ W(2) = W(2-1) + W(1) $ . 表示 $ W(2-1) $ 作為 $ Y $ 和 $ W(1) $ 作為 $ X $ . 然後：
$$ \mathbb{P}(W(1)>0 \cap W(2-1)+W(1)>0)=\mathbb{P}(X>0 \cap Y+X)>0)=\mathbb{P}(X>0 \cap Y>-X) $$
根據布朗運動的定義，獨立增量是聯合正態分佈的。所以 $ X $ 和 $ Y $ 與密度共同正常 $ f_{X,Y}(u,v) $ . 我們可以寫：
$$ \mathbb{P}(X>0 \cap Y>-X)=\int_{u=0}^{u=\infty}\int_{v=-u}^{v=\infty}f_{X,Y}(u,v)dv du $$
最後一步是畫出二重積分的域： $ X>0 $ 表示我們對笛卡爾的右手邊感興趣 $ X,Y $ 陰謀。然後與 $ Y>-X $ ，這進一步劃分了線以下的區域 $ Y=(-X) $ 在右側 $ X,Y $ 情節：即我們削減了“底部 $ 1/4 $ " 的右手邊。所以我們剩下 $ 3/4 $ 的 $ 1/2 $ 的 $ X,Y $ 域，即 $ 3/8 $ . 由於聯合法線 PDF 是一個對稱錐體，其中心為 $ x=0, y=0 $ , 雙積分實際上等於 $ 3/8 $ 通過對稱。
這是我很久以前在一次量化採訪中得到的：
問題：如果 $ x = { x_1, x_2, \cdots, x_n } $ iid 是從隨機變數中抽取的嗎 $ X \sim {\mathbb U}(0,1) $ ， 計算
$$ \begin{align} {\mathbb E}[ ; \max(x) - \min(x) ; ] \end{align} $$
答：我有兩個有趣的解決方案來解決這個問題，CDF 和集成：
- CDF $ \to $ PDF格式
由於期望是一個線性運算元，我們可以將期望的數量重寫為兩個期望之和 $$ \begin{equation} \label{minMaxUniform} {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] - {\mathbb E}[ ; \min(x) ; ] \end{equation} $$
自從 $ X \sim {\mathbb U}(0,1) $ 在 0.5 左右是對稱的，這些必須由 $$ \begin{equation} {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] = 1 - {\mathbb E}[ ; \min(x) ; ] \end{equation} $$ 我們可以用單個數量來表達期望的期望 $$ \begin{equation} 2 \times {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] - 1 \end{equation} $$
計算最大值的期望 $ n $ 從 $ X $ ， 讓我們考慮一下 $ \max(x) $ 作為自己的隨機變數，併計算其機率分佈， $ P( \max(x) = k ) $ 為了 $ 0 \leq k \leq 1 $ .
的機率 $ P( \max(x) \leq k ) $ 只是所有平局的機率 $ x_i $ 小於或等於 k， $ P( x_i \leq k ; \forall ; i \in n ) $ - 由於每次抽籤都是獨立的，我們可以將其重新表達為獨立項的乘積 $$ \begin{align} P( \max(x) \leq k ) &= P( x_i \leq k ; \forall ; i \in n )\ &= \prod_{i=1}^n P( x_i \leq k )\ &= k^n \end{align} $$
$ P( \max(x) \leq k ) $ 是的 cdf $ \max(x) $ ，我們可以使用眾所周知的表達式來計算它的pdf $$ \begin{align} P( \max(x) = k ) &= {\frac \partial {\partial k}} P( \max(x) \leq k )\ &= n \cdot k^{n-1} \end{align} $$
計算出的pdf $ \max(x) $ ，我們可以用通常的方式計算它的期望 $$ \begin{align} {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] &= \int_{k=0}^{1} p( \max(x) = k ) \cdot k \cdot dk\ &= \int_{0}^{1} n \cdot k^{n-1} \cdot k \cdot dk\ &= \left[ {\frac n {n+1}} k^{n+1} \right]^1_0\ &= {\frac n {n+1}} \end{align} $$
把這一切放在一起， $$ \begin{align} {\mathbb E}[ ; \max(x) - \min(x) ; ] &= {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] - {\mathbb E}[ ; \min(x) ; ]\ &= 2 \times {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] - 1\ &= {\frac {2n} {n+1}} - 1\ &= {\frac {n-1} {n+1}} \end{align} $$ 這是答案
- 一體化
另一種計算方法 $ {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] $ 是整合每個 $ x_i $ . 通過對稱性，任何一個的機率 $ n $ 變數 $ x_i $ 最大的是 $ {\frac 1 n} $ , 所以我們在區域內整合 $ n $ 維空間 $ x_1 $ 是最大值並乘以 $ n $ $$ \begin{align} {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] &= \Bigl( \int_0^1 \Bigr)^{n} \max(x) \prod_{i=1}^n dx_i\ &= n \cdot \int_{x_1=0}^1 x_1 \Bigl( \int_0^{x_1} \Bigr)^{n-1} \prod_{i=1}^n dx_i\ &= n \cdot \int_{x_1=0}^1 x_1 \prod_{i=1}^n \Bigl( \left[ x_i \right]^{x_1}0 \Bigr)^{n-1} dx_1\ &= n \cdot \int{x_1=0}^1 x_1^n \cdot dx_1\ &= n \cdot \left[ {\frac 1 {n+1}} x_1^{n+1}\right]_0^1\ &= {\frac n {n+1}} \end{align} $$
所以使用前面解決方案最後一步的邏輯，
$$ \begin{align} {\mathbb E}[ ; \max(x) - \min(x) ; ] &= 2 \times {\mathbb E}[ ; \max(x) ; ] - 1\ &= {\frac {2n} {n+1}} - 1\ &= {\frac {n-1} {n+1}} \end{align} $$