無套利意味著一般二項式模型中的完整市場？
在 Tomas Björk 的連續時間套利理論中（或此處）， $ \exists $ 這個提議
似乎要表明模型是完整的，我們必須證明索賠是可到達的，即我們必須為每個索賠找到複製的投資組合。
找到複製投資組合的哪一部分利用了假設，我理解假設等同於 $ d < 1+R < u $ （或者 $ d \le 1+R \le u $ ， 但 $ d<u $ )? 到目前為止我所看到的是 $ d<u $ ，但這並沒有什麼特別之處：當然是股價 $ u $ 如果它從目前價格上漲應該高於股票價格 $ d $ 如果它會從目前的價格下跌。
如果存在風險中性測度 Q（在該測度下，貼現股價變為鞅），則市場是無套利的。
當風險中性測度 Q 是唯一的時，市場是完整的。
因此，任何具有風險中性度量 Q 的市場都是無套利的，如果 Q 是唯一的，它也是完全的。
風險中性機率 $ q $ 對二項式模型來說是唯一的，因此它是無套利且完全的。
對於任何多項式模型 $ m>2 $ stockmoves, Q 有無限解，因此市場是不完整的，但它仍然是無套利的，因為 Q 的存在。
可以說明二項式模型中看漲期權的風險中性測度 Q 的存在性和唯一性如何暗示複製投資組合的存在，如下所示：
當時 $ t=0 $ ，資產價格為 $ S_0 $ 並且看漲期權價格是 $ C_0 $ ，待定。當時 $ t=1 $ ，有兩種可能的資產價格 $ S_{1u} = S_0(1+u) $ 有機率 $ p $ 和 $ S_{1d} = S_0(1+d) $ 有機率 $ 1-p $ . 期權到期時的收益為
$$ C_1 = \max(S_1-K,0), $$ 其中隨機變數 $ S_1 $ 是 $ S_{1u} $ 或者 $ S_{1d} $ 取決於未來的市場狀況：
$$ C_{1u} = \max(S_{1u}-K,0)\\ C_{1d} = \max(S_{1d}-K,0) $$ 期權當時的價值 $ t=0 $ 是收益的貼現期望值。然而，這個期望值不是用真實機率計算的 $ p $ – 而是風險中性機率 $ \hat{p} $ 這排除了套利機會。
我們可以確定無套利風險中性機率 $ \hat{p} $ 通過展示建構期權和無風險資產的對沖投資組合是可能的——它在兩種未來狀態下具有相同的價值。因此，投資組合的價值以無風險利率隨時間增長 $ i $ .
假設投資組合很長 $ 1 $ 看漲期權和做空 $ \Delta $ 資產的份額。當時的價值 $ t=1 $ 是
$$ V_t= C_t-\Delta S_t. $$ 我們可以求解對沖比率 $ \Delta $ 使得投資組合的價值在時間 $ t=1 $ 獨立於市場狀態： $$ C_{1u}-\Delta S_{1u}=C_{1d}-\Delta S_{1d}, $$ 或者
$$ C_1-\Delta S_1=C_{1u}-\Delta S_0(1+u)=C_{1d}-\Delta S_0(1+d). $$ 對沖比率的這個值與當時資產價值的機率無關 $ t=1 $ :
$$ \Delta = \frac{C_{1u}-C_{1d}}{S_0(u-d)} $$ 因此，在沒有套利的情況下，投資組合以無風險利率增長：
$$ C_1-\Delta S_1 = (C_0 - \Delta S_0)(1+i) $$ 我們可以在時間求解看漲期權的價值 $ t=0: $
$$ C_0 -\Delta S_0= \frac{C_{1u}-\Delta S_0 (1+u)}{1+i}, $$ $$ C_0 = \frac{\Delta S_0 (1+i) +C_{1u}-\Delta S_0 (1+u)}{1+i}, $$ $$ C_0 = \frac{-\Delta S_0 (u-i) + C_{1u}}{1+i}. $$ 代替 $ \Delta $ ， 我們獲得
$$ C_0 = \frac{\hat{p}C_{1u}+(1-\hat{p})C_{1d}}{1+i}=\frac{1}{1+i}{\hat{p}\max[S_0(1+u)-K,0)]+(1-\hat{p})\max[S_0(1+d)-K,0)]}, $$ 在哪裡
$$ \hat{p} = \frac{i-d}{u-d}. $$ 這具有具有不同機率的期望值的形式——風險中性機率。看漲期權的公允價值是風險中性機率計量下的貼現預期值。
您可以將無套利聲明視為關於無限流動性交易。
如果必須交易 $ x $ 通過支付一半價差 $ \nu $ ，你得到微不足道的回報 $ \Phi(\cdot) \equiv 1+R $ 那麼沒有解決辦法。你會試圖解決
$$ (1+R)x - \nu + suy = (1+R)x = (1+R)x - \nu + sdy $$