赫斯頓模型中的套利
在這個問題上真的很掙扎：
考慮一個有兩種資產的市場 $ (B,S) $ 其價格動態滿足
$$ \begin{equation} dB_t = B_t r dt \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \quad \quad \quad \quad , , , , , , , dS_t = S_t ( r dt + \sqrt{v_t} dW_t) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad , , , , , , dv_t = (a -b v_t ) dt + c \sqrt {v_t} ( \rho dW_t + \sqrt{ 1- \rho^2} dZ_t), \end{equation} $$ 在哪裡 $ r, a, b, c \text{ and } \rho $ 是常數，有 $ a,b>0 $ 和 $ -1 \leq \rho \leq 1 $ ， 和 $ W $ 和 $ Z $ 是獨立的布朗運動。 讓 $ F: [0,T] \times \mathbb{R}{+} \times \mathbb{R}{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ 滿足 PDE
$$ \begin{equation} \frac{\partial F}{\partial t} + Sr \frac{\partial F}{\partial S} + (a-b v_t) \frac{\partial F}{\partial v} + \frac{1}{2} S^2 v\frac{{\partial}^2 F}{\partial S^2} + c \rho Sv \frac{{\partial}^2 F}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2} c^2 v \frac{ {\partial}^2 F}{\partial v^2} = rF, \end{equation} $$ 有邊界條件 $ F(T,S,v) = \sqrt{S} $ . 引入帶有支付的或有債權 $ \xi_T = \sqrt{S_T} $ .
問題是要證明在增廣市場中，存在嚴格正的伊藤過程 $ (Y_t){t \geq 0} $ 這樣 $ (Y_t ( B_t, S_t, \xi_t)){t \geq 0} $ 是局部鞅，如果時間- $ t $ 或有債權的價格由下式給出 $ \xi_t = F(t, S_t, v_t) $ .
到目前為止我所做的（應用 Ito 的公式並使用 PDE）：
$$ \begin{equation} d \xi_t = r F(t, S_t, v_t) dt + \bigg( \frac{\partial F}{\partial S} (t, S_t, v_t) \sqrt{v_t} + \frac{\partial F}{\partial v} (t, S_t, v_t) c \sqrt{v_t} \rho \bigg) dW_t + \frac{\partial F}{\partial v} (t, S_t, v_t) c \sqrt{v_t} \sqrt{1-\rho^2} dZ_t. \end{equation} $$ 我試試 $ Y $ 和 $ dY_t = m_t dt + n_t dW_t + q_t dZ_t $ , 對於程序 $ (m_t) $ , $ (n_t) $ 和 $ (q_t) $ . 第一個條件是 $ (Y_t B_t) $ 是一個局部鞅告訴我們 $ m_t=0 $ .
第二個條件是 $ (Y_t B_t) $ 是一個當地的馬丁格爾似乎告訴我們 $ n_t= Y_t ( \frac{-r}{1+\sqrt{v_t}}) $ .
不幸的是，表達式 $ q_t $ 太複雜了，我無法從那裡得出結論 $ (Y_t) $ 是嚴格積極的。有任何想法嗎？？？
證明新證券的貼現期望價格與 PDE 的解相同。完成此操作後，所有三種資產都具有作為鞅的貼現價格過程，因此不會有套利。
Mark Joshi 幾乎解決了這個問題。要添加它，您可以從 Feynamn Kac 中看到（參見http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman –Kac_formula 中的註釋）它遵循
$$ F(t,S,v) = B_t \mathbf{E}\left[ \frac{ \sqrt{ S_T } }{ B_T } \big \vert S_t = S, v_t = v \right], $$ 期望是關於一個度量的，其中 $ W $ 和 $ Z $ 是獨立的布朗運動。請注意，如果過程 $ M_t = S_tB_t^{-1} $ 是鞅：風險中性度量是使儲蓄賬戶單位表示的基礎是鞅的度量。 所以由於上面的等式，如果你證明 $ M_t $ 是一個鞅，那麼作為 pde 解決方案給出的價格確實是無套利的。現在，這很容易，因為
$$ dM_t = \sqrt{v_t} M_t dW_t, $$ 這是赫斯頓模型中的鞅，根據諾維科夫的條件（http://en.wikipedia.org/wiki/Novikov’s_condition）： $$ \mathbf{E} \left[ e^{ \int_0^T v_r dr} \right] < \infty. $$