兩期模型中的套利機會
我在評估歐洲電話時遇到了一點問題。我假設如下：
在
$$ t=0 : S_0 = 10 $$ $$ t = 1 : S_1 = {10,11}~with ~p=0.5 $$ 無風險利率： $ (1+r)=\beta=1.049 $
行權價： $ K=10 $
現在我的論文的作者說呼叫的值必須是 $ V_0 < 1/\beta (11 - 10) * 0.5 = 0.477 $ 為了避免套利。誰能看到這是怎麼回事？
我知道，在考克斯魯賓斯坦之後，股票的價值沒有按照公允估值計算，這將是 $ S_0=10.5 $ . 如果那時 $ K=10.5 $ 例如 $ V_0=0.5 $ 我可以通過以下方式建構套利：
在 $ t=0 $ : 賣出 2 個看漲期權並買入一個 zerobond。如果 $ P $ 表示我擁有的投資組合價值 $ P_0=2*0.5-1=0 $
在 $ t=1 $ 什麼時候 $ S_1=10~P_1=1.049-2*0>0 $
在 $ t=1 $ 什麼時候 $ S_1=11~P_1=1.049-2*(11-10.5)>0 $
=> 套利
為了 $ S_0=10 $ ： 為了 $ V_0 > 1/\beta $ 我看到有人可以做空看漲期權併購買零債券，這讓我在任何情況下都可以在第 1 期支付我的責任，就像上面一樣。
這是一個完整的市場，因此看漲期權的價格是可以確定的。
有多種方法可以做到這一點。如果罷工是 10，則特別容易，因為回報是 $ S_1 - 10 $ 所以價值是 $ S_0 - 10/\beta $ 因為我們可以用一個單位精確複製 $ S $ 和值得的現金 $ -10 $ 有時 $ 1 $ 哪個 $ -10/\beta $ 今天現金賬戶的單位。
因此，該值是
$$ 10 - 10/1.049 = 0.46722. $$
最後：
在 $ t=0 $ : 賣出 19 只債券，賣出 2 只看漲期權 $ V_0=0.5 $ , 10 買 2 股 =>
$$ P_0=19+2*0.5-20=0 $$ 在 $ t=1,S_1=10 $
$$ P_1 = 210-19.9481-20=0.069>0 $$ 在 $ t=1,S_1=11 $
$$ P_1=211-19.9481-21=0.069>0 $$ 天哪，這需要很長時間。無論如何，謝謝！