套利證明問題
證明條件 $ D<R<U $ 相當於沒有套利：
R = 無風險投資回報率。U 和 D 是對應於風險證券的向上/向下價格變動的回報。
套利的基本思想是低買高賣，沒有風險或初始投資
所以假設 R >= U 或 R<=D （相反）
在時間 0
我們以 S 的價格做空證券（得到 +S）
我們將證券投資於無風險投資 (-S) 餘額在時間 0 = 0
在時間 1
我們收回無風險投資 (+S(1+R))
我們回購一股股票。有兩種情況
a) 股價上漲：(-S(1+U)) 利潤 = S(1+R)-S(1+U) >= 0 因為 R>=U （利潤總是非負的，有套利）
b) 股價下跌：(-S(1+D)) 利潤 = S(1+R)-S(1+D) <= 0 因為 R<=D（來自假設），但這表明利潤可以負數 - 沒有確定的無風險利潤套利！所以我被困在這裡。
你已經成功了一半。
什麼時候 $ R < D \ (< U) $ ，股票的收益在世界所有國家都主導著無風險收益。要從中受益，只需借入現金並投資於股票。在 $ t=0 $ 這不需要淨投資：借入現金意味著您的賬戶已記入貸方 $ S_0 $ ，而隨後購買該股票表明它已被借記 $ S_0 $ . 在一個時期結束時，您欠銀行借給您的現金利息 $ S_0 (1+R) $ 但是作為多頭股票，您現在擁有的頭寸值得 $ S_0 (1+D) $ 或者 $ S_0(1+U) $ 如果你要賣的東西總是超過所欠的利息，因此在世界所有國家都有正利潤，因此免費午餐。
什麼時候 $ (D <) \ U < R $ 無風險收益主導著世界所有國家的股票收益。要從中受益，只需賣空股票並投資於無風險貨幣市場賬戶。在 $ t=0 $ 這不需要淨投資（只需將賣空的收益存入無風險賬戶）。期末您收到利息 $ S_0 (1+R) $ 雖然做空股票會讓你付出代價 $ S_0 (1+D) $ 或者 $ S_0(1+U) $ （由於您在沒有事先擁有股票的情況下出售，因此您需要先購買它，然後才能將其提供給您的對手）這總是少於您所賺取的，因此在世界所有國家都有正利潤，因此免費午餐。