套利問題
考慮 XYZ Corporation 的假設實物支付 (PIK) 債券。該債券期限為 2 年，面值為 1000 美元，年票面利率為 10%。
優惠券每年支付一次。XYZ 有權以現金或額外的 PIK 債券支付第一張息票——即，債券持有人每持有 100 份債券可獲得 100 美元現金或 10 個額外的 PIK 債券。但是，第二張息票必須在兩年結束時連同面值一起以現金支付。PIK債券是無風險的，按面值交易，而收益率曲線平坦，為9%
無風險 1 年期和 2 年期零息債券的到期收益率為 9%（有效年收益率）。
假設您可以在沒有交易成本的情況下買賣（借入和賣出）PIK 和零息債券。您預測一年後一年期零息債券的到期收益率將保持在 9% 或變為 8.5% 或 9.5%。
a) 假設 XYZ 總是以現金支付第一張息票，債券的價格應該是多少？
b) 鑑於您對未來利率的預測（如問題中所述），表明存在套利機會。(
首先，建立初始成本為 0 的初始頭寸：以面值（1000美元）購買 1 只 PIK 債券，並出售價值 1000 美元的 2 年期零息票以融資購買。
一年後，您將獲得 0.1 PIK 債券或 100 美元的報酬。在第一種情況下，頭寸保持不變，直到第 2 年到期。您的回報將是償還 PIK 債券（+息票） - 零債券的價值：
$ (1) V_2 = 1.1 V_{PIK} - 1000 (1+0.09)^2 = 1.1 (1000 + 100) - 1000 (1.09)^2 = 1210 - 1188.1 = 21.90 $
對於第二種情況，您從優惠券中獲得 100 美元，然後將其再投資於 1 年期 ZC。如果最壞的情況（最低再投資率，在這種情況下為 8.5%）產生利潤，我們將進行套利。因此，在成熟時，我們得到：
$ (2) V_2 = 1 V_{PIK} - 1000 (1+0.09)^2 + 100 (1+0.085) = 1 (1000 + 100) - 1000 (1.09)^2 + 100 (1.085) = 1100 - 1188.1 + 108.5 = 20.40 $
我們剛剛證明了零成本投資組合在所有情況下都會產生正利潤，這就是套利的定義。
另一種可能的套利可以通過出售 PIK 債券融資來建立 $ 100$ (1+0.09)^{-1} = 91.74 $ 1 年的 ZC，並通過出售 2 年的 ZC 來彌補其餘部分 (908.26)。這也是一個零成本的投資組合；但是，在這種情況下，如果第一年的息票是現金，我們會提前償還借款。
在第 1 年，情況與以前相同。但是，在這種情況下，如果我們收到 0.1 PIK，我們需要將短期借款展期；所以我們將使用最壞情況下的借款利率，即 9.5%。在第 2 年，我們有：
$ (1) V_2 = 1.1 V_{PIK} - (908.26)(1.09)^2 - 100(1.095) = 1210 - 1079.10 - 109.50 = 1210 - 1188.60 = 21.40 $
如果優惠券是現金，我們償還 1 年期 ZC 的價值 100 美元，在第 2 年，我們有：
$ (2) V_2 = 1 V_{PIK} - (908.26)(1.09)^2 = 1100 - 1079.10 = 20.90 $
同樣，零成本初始投資組合以機率 1 產生正利潤，因此構成套利。
一種）
$$ P_t=100/1.09+(100+1000)/1.09^2=1017,591112 $$