Bjork 中的套利策略證明
在 Tomas Bjork 的連續時間套利理論中（或此處）， $ \exists $ 這個提議
命題 2.9 假設通過複製投資組合 h 可以達到索賠 X。那麼索賠 X 在 t=0 時的任何價格，除了 $ V_0^{h} $ 將導致套利的可能性。
我的教授使用 $ V_0({\phi}) $ 代替 $ V_0^{h} $ ， 但 $ \phi $ 仍指投資組合。
讓 $ \Pi(t;x) $ 是時間 t 的或有債權的價格。然後， $ \Pi(0;x) $ 必須 = $ V_0({\phi}) $ .
這是寫在黑板上的證明：
認為 $ \Pi(0;x) $ > $ V_0({\phi}) $ .
套利策略是：
出售（或賣空）索賠 $ \Pi(0;x) $ ，並獲得投資組合 $ \phi $ 值得 $ V_0({\phi}) $ .
剩餘金額為 $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ .
在 t = 1 時，您將承擔的索賠 X w/c 的回報將覆蓋投資組合的價值 $ V_1({\phi}) $ 在 t=1。
認為 $ \Pi(0;x) $ < $ V_0({\phi}) $ .
套利策略是：
賣出（或賣空）投資組合價值 $ V_0({\phi}) $ . 使用該金額購買索賠價值 $ \Pi(0;x) $ .
剩餘金額為 $ V_0({\phi}) - \Pi(0;x) $ .
在 t = 1 時，您將獲得收益 X，w/c 等於 $ V_1({\phi}) $ .
Soooo 我嘗試為第一部分建構套利策略以查看確切的利潤，但我似乎錯過了一步。
認為 $ \Pi(0;x) $ > $ V_0({\phi}) $ .
在 t = 0時，
交易 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 現金周轉
1 次賣空/賣出索賠 $ \Pi(0;x) $ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ + $ \Pi(0;x) $
2 購買 $ \phi $ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ - $ V_0({\phi}) $
3 投資 $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ 在 R 直到 t=1 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ -( $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ )
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 0
在 t = 1時，
交易 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 現金周轉
1 收集投資 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ +( $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ )(1+R)
2 投資組合增值 $ \phi $ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ + $ V_1({\phi}) $
3
$$ … $$? $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ - $ V_1({\phi}) $ 4 如果需要，關閉空頭頭寸 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 0
利潤 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ +( $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ )(1+R)
在哪裡 $ V_1({\phi}) $ 去？我在想我們應該借錢 $ \frac{V_1({\phi})}{1+R} $ 在 t=0 所以它看起來像：
認為 $ \Pi(0;x) $ > $ V_0({\phi}) $ .
在 t = 0時，
交易 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 現金周轉
1 次賣空/賣出索賠 $ \Pi(0;x) $ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ + $ \Pi(0;x) $
2 購買 $ \phi $ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ - $ V_0({\phi}) $
3 借 $ \frac{V_1({\phi})}{1+R} $ 在 R 直到 t=1 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ + $ \frac{V_1({\phi})}{1+R} $
4 投資 $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ + $ \frac{V_1({\phi})}{1+R} $ 在 R 直到 t=1 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $ -(\Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ + $ \frac{V_1({\phi})}{1+R}) $
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 0
在 t = 1時，
交易 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 現金周轉
1 收集投資 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $ (\Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ + $ \frac{V_1({\phi})}{1+R})(1+R) $
2 償還債務 $ \phi $ $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ - $ V_1({\phi}) $
3 如果需要，關閉空頭頭寸 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 0
利潤 $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ +( $ \Pi(0;x) $ - $ V_0({\phi}) $ )(1+R)
或者對於缺失的步驟是否有一些動作使它們兩者相等？
如果 $ V_0(\phi) < \Pi(0,x) $
在 $ t=0 $
- 您賣空索賠並收取 $ \Pi(0,x) $
- 您購買投資組合 $ \phi $ 為了 $ V_0(\phi) $
- 你把錢 $ \Pi(0,x) - V_0(\phi) $ 在您的無風險工具中
在 $ t=1 $
- 在 $ t=1 $ 您將對您做空的索賠承擔賠償責任。您在索賠期間欠對方的錢是 $ \Pi(1,x) $ .
- $ \phi $ 因此是複制投資組合 $ V_1(\phi) = \Pi(1,x) $ . 您可以出售投資組合 $ \phi $ 並得到 $ V_1(\phi) $
- 因此，您只剩下 $ (\Pi(0,x) - V_0(\phi)) (1+R) $ 在您的銀行帳戶中。
我認為你不需要藉錢 $ V_1(\phi) / (1+R) $ 在 $ t=0 $ ：您已經可以用賣空債權的部分收益為投資組合中的多頭頭寸融資。
無論如何，你不知道它的價值 $ V_1(\phi) $ 在 $ t=0 $ . 你所知道的是 $ V_1(\phi) = \Pi(1,x) $ 在 $ t=1 $ .