套利
套利的定義
定義。套利是一種投資組合 $ H $ ∈ $ R^n $ 這樣
• $ H⋅P_0≤0≤H⋅P_1 $ 幾乎可以肯定，並且
• $ P(H⋅P_0=0=H⋅P_1)<1 $ .
在哪裡 $ P_0 $ 和 $ P_1 $ ∈ $ R^n $ 代表當時的價格 $ t=0,1 $ 分別。
現在，我的問題是為什麼我們需要第一個條件。假設只有一項資產 $ A $ 當時哪個 $ t=0 $ 費用 $ 3 $ . 然後，在 $ t=1 $ 我們有 $ P(A=2)=\frac{1}{2} $ 和 $ P(A=1)=\frac{1}{2} $ . 投資組合 $ H=−1 $ 應該是套利，因為它會產生一定的利潤而沒有附加風險，但這不是因為 $ H⋅P_1<0 $ .
- 從概念上講，套利會給你一些**東西。
- 這與幾乎可以肯定地賺錢或虧錢是不同的想法。無風險債券讓您幾乎可以肯定地賺錢，但它不是套利。
出了什麼問題，你的例子中混亂的根源？
您已經隱含地假設存在利率為 0 的現金證券（但沒有明確表示）
在您的範例中，您假設現金可以在 $ t=0 $ 和 $ t=1 $ 利率為 0。你需要一個證券來做到這一點。
如果存在返回 0 的無風險證券，那麼賺錢幾乎肯定違反了單價定律（因為您實際上有 2 個不同的無風險利率）。通過無限制的買賣，您可以通過做多高利率和做空低利率來建構套利。
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一價定律（線性）和無套利
經常混淆的兩個不同概念（即使在文本中）是：
- 一價定律，即定價函式是線性的。如果 $ X $ 和 $ Y $ 是代表收益的隨機變數， $ \alpha $ ， 和 $ \beta $ 是標量，並且 $ f $ 是定價函式，定價函式的線性度 $ f $ 暗示：
$$ f(\alpha X + \beta Y) = \alpha f(X) + \beta f(Y) $$ 這裡的想法是，投資組合的價格應該與其組成部分的價格成線性關係。
- 沒有套利。粗略地說，沒有套利要求任何具有嚴格正收益的證券都應該有一個正價格，你不能白白得到一些東西。
一價定律允許您將定價函式編寫為具有狀態價格的內積。沒有套利意味著這些州的價格是積極的。
這兩個不同的概念是如何混為一談的，因為違反線性可以讓你建構套利。當人們真正的意思是線性和沒有套利時，他們經常說沒有套利。
參考
Cochrane, John，資產定價，2005