歐美衍生證券，有趣的問題
讓我們用 $ c^A(t, S(t)) $ 價格，當時 $ t $ 某種美式衍生證券，其內在價值 $ t $ 表示為 $ V(t) $ .從無套利原則，我們知道，在每一次 $ t\in [0,T] $ , 我們必須有 $ c^A(t, S(t))\geq V(t) $ .
現在讓我們用 $ c^E(t, S(t)) $ 相同衍生品的歐洲對應物的價格，有回報 $ V(T) $ 只能在某個時間行使 $ T $ . 在這種情況下，我們知道關係 $ c^E(t, S(t))\geq V(t) $ ， 為了 $ t\in [0,T] $ 通常不再持有：例如，如果歐洲衍生證券是看跌期權。
現在，我的問題是：假設對於給定的歐洲證券，我們實際上有關係 $ c^E(t, S(t))\geq V(t) $ ， 對所有人 $ t\in [0,T] $ . 我們可以說在這種情況下美國的衍生證券等同於歐洲的衍生證券嗎？也就是說，我們是否可以得出結論 $ c^E(t, S(t))=c^A(t, S(t)) $ ， 對所有人 $ t\in [0,T] $ ?
看漲期權當然就是這種情況，我們確實有 $ c^E(t, S(t))\geq V(t) $ , $ t\in [0,T] $ . 但是對於其他類型的衍生品呢？
考慮兩個成熟的選項 $ T $ 僅在鍛煉方式上有所不同，一種是歐洲人（持有人只能在 $ T $ )，另一個美國人（持有人在最適合他/她的時候鍛煉）。這些選項不一定是普通選項。
讓我們進一步表示 $ I (S_t) $ 這些或有債權在當時的內在價值 $ t $ ，即持有人在 $ t $ .
然後你的問題轉化為
假如說 $ \forall t \in [0,T] $ , 以下不等式成立
$$ V^E(t,S_t) \geq I(S_t) \tag{A} $$ 這是否意味著以下平等 $$ V^A(t,S_t) = V^E(t,S_t) \tag{B} $$
證明 $ (B) \Rightarrow (A) $
證明很簡單。確實，正如您在問題中所述 $ t $ - 美式期權的價值總是大於當時的內在價值 $ t $ : $ V^A(t,S_t) \geq I(S_t) $ 同時通過 $ (B) $ $ V^A(t,S_t)=V^E(t,S_t) $ . 前一種不平等來自這樣一個事實，即立即行使只是美式期權持有者可以解決的眾多止損策略之一，並且他/她應該選擇最大化他/她的收益的策略。
證明 $ (A) \Rightarrow (B) $
從美式期權的定義開始
$$ \begin{align} V^A(t,S_t) &= \text{sup}_{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} I(S\tau) \right] \tag{1} \end{align} $$ 在哪裡 $ \tau $ 表示一系列停止時間，其值為 $ [t,T] $ . 假使，假設 $ (A) $ 持有即 $ I(S_t) \leq V^E(t,S_t), \forall t \in [0,T] $ . 在那種情況下，從方程 $ (1) $ ，我們可以這樣寫
$$ \begin{align} V^A(t,S_t) &\leq \text{sup}_{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} V^E(\tau,S\tau) \right] \tag{2} \ \end{align} $$ 通過期望運算元的線性。 現在，注意到在沒有套利的情況下 $ \frac{V^E(t,S_t)}{B_t} $ 應該作為一個 $ \mathbb{Q} $ -馬丁格爾（記住 $ V^E(t,S_t) $ 是一種可交易資產），與 $ B_t $ 這 $ t $ - 無風險貨幣市場賬戶的價值，最優抽樣定理給出：
$$ \begin{align} \mathbb{E}t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} V^E(\tau,S\tau) \right] &= e^{rt} \mathbb{E}t^\mathbb{Q} \left[ \frac{V^E(\tau,S\tau)}{B_\tau} \right] \ &= e^{rt}\frac{V^E(t,S_t)}{B_t} \ &= V^E(t,S_t) \end{align} $$ 因此 $ (2) $ 變成 $$ \begin{align} V^A(t,S_t) &\leq \text{sup}_{\tau \in [t,T]} V^E(t,S_t) = V^E(t,S_t) \tag{I1} \ \end{align} $$ 另一方面，我們有
$$ V^A(t,S_t) \geq V^E(t,S_t) \tag{I2} $$ 即 $ t $ - 美式期權的價值總是大於 $ t $ - 其歐洲同行的價值。這是因為到期時的歐式行權只是美式期權持有人可以解決的眾多止損策略之一，他/她應該選擇能夠最大化他/她的收益的策略。 結合不等式 $ (I1) $ 和 $ (I2) $ 然後微不足道地產生：
$$ V^A(t,S_t) = V^E(t,S_t) $$