對於離散模型，強套利的存在等價於特定的自籌策略
背景資料：
這個問題來自金融數學講座：離散資產定價。
問題：
證明對於離散模型，強套利的存在也等價於自籌資金策略的存在使得 $ V_0(\phi) < 0 $ 和 $ V_T(\phi) \geq 0 $ .
嘗試證明 - 假設 $ \psi $ 是一種自籌資金策略，使得
$$ V_0(\psi) = 0 \ \ \text{and} \ \ V_T(\psi) > 0 $$ 現在假設我們也有一個自籌資金的策略 $ \phi $ 這樣$$ V_0(\phi) > 0 \ \ \text{and} \ \ V_T(\psi) \geq V_T(\phi) $$ 現在讓 $ \Omega = \psi - \phi $ ，這也是一種自籌資金策略，因為兩種自籌資金策略的區別是自籌資金策略。然後$$ V_0(\Omega) = V_0(\psi - \phi) = V_0(\psi) - V_0(\phi) = 0-V_0(\phi) < 0 $$ 和 $$ V_T(\Omega) = V_T(\psi - \phi) = V_T(\psi) - V_T(\phi) \geq 0 $$ 因此，我們有一個自籌資金的策略，使得$$ V_0(\Omega) < 0 \ \ \text{and} \ \ V_T(\Omega) \geq 0 $$ 類似的論點也適用於相反的情況。 我不確定這是否完全正確，非常感謝任何建議。
我們首先假設強套利，即有自籌資金策略 $ \phi $ 這樣 $ V_0(\phi)=0 $ 和 $ V_T(\phi)>0 $ . 那麼，在有限樣本空間上，存在 $ \alpha >0 $ 這樣
$$ \begin{align*} S_0^0\frac{V_T(\phi)}{S_T^0}\ge \alpha, \end{align*} $$ 在哪裡 $ S^0 $ 是其中的無風險資產 $ k+1 $ 資產 $ S^0, S^1, \ldots, S^k $ ，即存款或貨幣市場賬戶。我們買 $ -\alpha/S_0^0 $ 無風險資產的份額 $ S_0 $ , 並持有至到期 $ T $ ，即我們考慮交易策略 $ \psi $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} \psi_i = \begin{cases} -\alpha/S_0^0, & \text{ if } i=0,\ 0, & \text{ otherwise}, \end{cases} \end{align*} $$ 無需任何中間調整。那麼很明顯 $ V_0(\psi+\phi)=-\alpha <0 $ ， 和 $$ \begin{align*} V_T(\psi+\phi) &= V_T(\psi) + V_T(\phi)\ &=-\alpha\frac{S_T^0}{S_0^0} + V_T(\phi)\ &=\frac{S_T^0}{S_0^0}\left(S_0^0\frac{V_T(\phi)}{S_T^0} - \alpha \right) \ge 0 \end{align*} $$ $$ $$ 反過來，在哪裡 $ V_0(\phi)<0 $ 和 $ V_T(\phi)\ge 0 $ ，我們可以簡單地設置 $ \alpha = -V_0(\phi) $ 在上述策略中 $ \psi $ . 然後 $ V_0(\psi+\phi)=0 $ ， 和 $ V_T(\psi+\phi)> 0 $ .