當解決方案不明顯時（市場上有 2 個資產），如何找到套利？
我正在努力在以下配置中找到套利。我知道如何證明存在套利（使用資產定價基本定理）。所以我已經證明存在套利。但是怎麼找呢？
我在市場上有兩種資產和一種債券，無風險資產有利息 $ r $ , 並且這兩個資產被定義為，其中下腳本是資產的時間，上腳本表示哪個資產（第一個或第二個）：
$$ S_0^1 = 10 ; \qquad S_1^1 = \begin{bmatrix}12 \ 8 \ 6 \end{bmatrix} $$
$$ S_0^2 = 5 ; \qquad S_1^2 = \begin{bmatrix}10 \ 4 \ 5 \end{bmatrix} $$
在這種配置中，一個明顯的選擇（由起始價格給出）是做多資產 2，做空資產 1 的兩倍。
我知道如果 $ S_0^2 = 6 $ ，仍有套利。但是，我再也找不到每種資產應該持有多少股了。事實上，實際上我可以如果 $ r = 0 $ . 在這種情況下，存在由債券的零頭寸、股票 1 的空頭頭寸和股票 2 的兩個多頭頭寸組成的套利。 $ r > 0 $ .
所以我有兩個問題，當我改變第二個資產的價格時，有人可以在這裡找到套利，以及一般應該是什麼方法？
此外，是否有可能為了創造套利，必須投資於債券？我認為它不應該改變套利機會，因為債券對每個產出的規模都是相同的。也許這就是我找不到解決問題的方法的原因。
乾杯。
編輯
我證明存在套利 $ S_0^2 = 6 $ .
使用資產定價的基本定理，如果市場沒有套利，則存在等價的鞅測度，我正在建立一個 EMM。
為了做到這一點，我搜尋以下方程的解，其中 $ p $ 是第二個資產的價格：
$$ \begin{bmatrix}10 \ p \ 1 \end{bmatrix} = \left ( \begin{matrix}12, 8 , 6 \ 10, 4 , 5 \ 1,1,1 \end{matrix} \right ) \begin{bmatrix}q_1 \ q_2 \ q_3 \end{bmatrix} $$
這裡 $ r $ 被視為等於 $ 0 $ . 但是，如果例如，矩陣仍然是可逆的 $ r = 0.05 $ . 我做了計算，應該是對的，但是用乳膠寫下來很痛苦，因為這些數字不再是整數……
矩陣的最後一行來自機率之和必須等於的事實 $ 1 $ . 最後，利用所有機率為正的隱含條件，得到以下三個機率存在條件（當沒有套利時，如果存在EMM）：
$$ 3 \leq p $$ $$ p \leq \frac{25} {3} $$ $$ 7 \leq p $$
因此，我的結論是，當 $ p \notin [7, 8 + \frac 1 3] \implies $ 存在套利。我犯錯了嗎？
讓 $ S_t^k $ 成為價格 $ k^{th} $ 風險資產 $ t $ .
讓 $ x $ 成為你的職位 $ S_t^0 $ （無風險銀行賬戶）， $ y $ 你在 $ S_t^1 $ 和 $ z $ 你在 $ S_t^2 $ .
您需要檢查兩件事才能找到套利策略。
- 通常套利策略的初始成本為零，即 $$ xS_0^0+yS_0^1+zS_0^2 =x+10y+6z\overset{!}=0. $$ 因此， $ x=-10y-6z $ .
- 收益需要在每個狀態下都是非負的，並且在至少一個狀態下是嚴格正的： $$ xS_1^0+yS_1^1+zS_1^2 = \begin{bmatrix}x+12y+10z \ x+8y+4z \ x+6y+5z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2y+4z \ -2y-2z \ -4y-z\end{bmatrix}. $$ 如你所見，如果你選擇 $ y<0 $ 和 $ z\in\left(-\frac{1}{2}y,-y\right) $ ，您將獲得套利！
例子
讓 $ x=22 $ , $ y=-4 $ 和 $ z=3 $ .
- 您的初始成本是 $ 22-4\cdot10+3\cdot6=0 $ .
- 你在狀態 1 的回報是 $ 22-4\cdot12+3\cdot10=4 $ .
- 你在狀態 2 的回報是 $ 22-4\cdot8+3\cdot4=2 $ .
- 你在狀態 3 的回報是 $ 22-4\cdot6+3\cdot5=13 $ .
因此，您的成本為零，但在每個州都有正回報 $ \implies $ 套利！