簡單或有債權的定價
早些時候我有一個問題（5.11 Tomas Bjork）：
$$ \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{1}{2}x^2\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}+x = 0 $$ $$ F(T,x) = ln(x^2) $$ 並使用 Feynman-Kac 解決它。PDE 給出隨機微分 $ dX=XdW $ 所以要解決 PDE 我需要什麼 $ X $ 這解決了隨機微分。書中的一個例子展示瞭如何解決上述類型的微分，並通過讓 $ Z=lnX $ , 計算其微分 $ dZ $ （然後它變得獨立於 Z，我猜這就是重點），求解 Z，然後為 X 只用 Z 的解提高指數函式（因為 $ Z=lnX $ ）。這一切都很順利。
現在我有一個問題，考慮標準 BS 模型，我應該在該模型中推導出或有債權的無套利過程 $ X=(S(T)^{\beta}) $ , $ \beta=const. $
標準 BS 模型給出了差異 $ S $ 這是 $ dS=rSdt+\sigma S dW $ . 想到前面的問題，我像以前一樣嘗試了一下。環境 $ Y=S^{\beta} $ , 和計算 $ dY $ 給出：
$ dY = Y(r\beta +\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2)dt+\sigma \beta Y dW $
然後我需要 $ Y $ 解決這個問題 $ dY $ . 但是，如上所述，設置 $ Z=ln Y $ （和 $ Z_0 = ln s_0 $ ), 計算$$ dZ = \frac{1}{Y}dY-\frac{1}{2Y^2}(dY)^2 = dt(\beta r+\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2-\frac{\beta^2\sigma^2}{2})+\beta \sigma dW $$ 積分和提高指數函式將給出解決方案 $ Y $ 為了 $ dY $ : $$ Y = s_0 exp(\int^T_t(\beta r+\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2-\frac{\beta^2\sigma^2}{2})dt + \int^{W_T}_{W_t}\beta \sigma dW) $$然後將給出價格過程$$ \pi = s_0^\beta exp[\beta(\beta r+\frac{\beta(\beta-1)}{2}\sigma^2-\frac{\beta^2\sigma^2}{2})(T-t)] $$ 然而，根據解決方案手冊，這個結果是錯誤的。它有這個額外的術語 $ \frac{\beta^2\sigma^2}{2} $ 當做額外的讓 $ Z=lnY $ 依此類推，但我無法理解與第一種情況有什麼區別以及為什麼這不起作用。如果有什麼不清楚的地方請告訴我，我會嘗試修改。
你讓它變得比它必須的複雜得多。請記住，無套利價格由下式給出 $ e^{-r(T-t)}\mathbb{E}(\Phi(S_T)) $ （正確地說，這應該以適當的 sigma 代數為條件。為了便於編寫，我將排除它）。現在使用 Itos $ \ln(S_t) = X_t $ ，這會在積分後產生（請注意，您從積分 $ t $ 到 $ T $ 在所有積分中。我看到你已經寫了積分 $ W_t $ 到 $ W_T $ ，這是不正確的）：
$ S_T = S_t \cdot \text{exp}((r-\sigma^2/2)(T-t) + \sigma Z $ 在哪裡 $ Z \in N(0,\sqrt{T-t}) $ .
現在將其插入到價格表達式中：
$ e^{-r(T-t)}\mathbb{E}(S_T^{\beta})=S_t^{\beta}e^{-r(T-t)+\beta(r-\sigma^2/2)(T-t)}\mathbb{E}(e^{\beta Z})=S_t^{\beta}e^{-r(T-t)+\beta(r-\sigma^2/2)(T-t)+\beta^2\sigma^2(T-t)} $
您可以根據需要重寫。
正如我之前提到的。請注意，您從集成 $ t $ 到 $ T $ 你會得到：
$ X_T - X_t = \int_t^T (…)du + \int_t^T(…)dW_u $ . 用極限寫最後一個積分 $ W_t $ 到 $ W_T $ 是不正確的！
希望這能讓你清楚！這是為或有債權定價的常用方法，僅當您無法分析計算價格並且必須使用數值方法對其進行近似時才需要直接使用 PDE（您也可以使用 Monte-Carlo simultation，為此不需要 PDE任何一個）。