證明二項式算法隱含 T 索賠在 t=0 時的無套利價格
在 Tomas Bjork 的連續時間套利理論中（或此處）， $ \exists $ 這些主張
第一個公式是如何從算法中得出的？我明白了 $ \Pi(0;X) = V_0(0) $ ，但我真的不明白什麼 $ E^{Q}[X] $ 意思是……等於 $ q_uu+q_dd $ ? 無論如何使用我得到的算法 $ V_0(k) = \frac{1}{(1+R)^T} \sum_{l=0}^{T} V_T(k+l)q_u^{T-l}q_d^{l} $ …是 $ \sum_{l=0}^{T} V_T(l)q_u^{T-l}q_d^{l} $ 應該是 $ =q_uu+q_dd $ ?
我相信這是 Björk 提出的方式，但是我相信下面的“我的”方式更優雅。Björk 案例中的訣竅是要意識到在每次“迭代”中我們都會得到一個加速值：
$$ V_0(0) = \frac{1}{1+R}\left(q_u V_{1}(1) + q_d V_1(0) \right) \ = \frac{1}{(1+R)^{2}} \left( q_u^2 V_2(2) + 2q_uq_d V_2(1) + q_d V_2(0) \right) \ = \frac{1}{(1+R)^{2}}E^Q[V_2]. $$ 以您將到達的相同方式繼續
$$ V_0(0) = \frac{1}{(1+R)^{T}}E^Q[V_T], $$ 但是，要使這個正式，您應該進行某種歸納論證。
我的方法：
我的方法不使用命題 2.24，而是使用我們已經知道單週期二項式模型和總期望定律的事實。我們已經知道命題 2.25成立，如果 $ T=1 $ 因為這簡化為單期二項式模型。所以假設 $ T \geq 2 $ 並假設命題 2.25適用於 $ T-1 $ 期間。我們從歸納假設中得知。
$$ \Pi(1; X) = \frac{1}{(1+R)^{T-1}}E^Q[\Phi(S_T)|Z_1] $$ 但
$$ \Pi(0; X) = \frac{1}{(1+R)} E^Q[\Pi(1; X)], $$ 因此
$$ \Pi(0; X) = \frac{1}{(1+R)} E^Q[\Pi(1; X)] = \frac{1}{(1+R)^{T}} E^Q[E^Q[\Phi(S_T)|Z_1]] \ = \frac{1}{(1+R)^{T}} E^Q[\Phi(S_T)]. $$ 命題 2.25的證明到此結束
做什麼 $ E^Q[X] $ 意思是：
如果 $ Z_1,…,Z_T $ 是獨立的隨機變數
$$ E[f(Z_1,…,Z_T)] = \sum_{z_1,…,z_T=\text{u or d}} f(z_1,…,z_T)P(Z_1=z_1)\cdots P(Z_T=z_T) \ = \sum_{z_1,…,z_T=\text{u or d}} f(z_1,…,z_T)p_{z_1} \cdots p_{z_T}. $$ 這個總和意味著我們對所有可能的結果/路徑求和。由於我們經常使用鞅/風險中性機率測度，因此引入符號來表示機率測度下的期望是很方便的 $ Q $ .
$$ E^Q[f(Z_1,…,Z_T)] = \sum_{z_1,…,z_T=\text{u or d}} f(z_1,…,z_T)Q(Z_1=z_1)\cdots Q(Z_T=z_T) \ = \sum_{z_1,…,z_T=\text{u or d}} f(z_1,…,z_T)q_{z_1} \cdots q_{z_T}. $$ 在你的情況下 $ X=\Phi(S_T) $ 這是一個函式 $ Z_1,…Z_T $ . 另請注意 $ S_T = su^Yd^{T-Y} $ 在哪裡 $ Y $ 是向上移動的次數。上面所有結果的總和也可以用 Björk 寫成，使用二項式係數：
$$ E^Q[f(Z_1,…,Z_T)] = \sum_{z_1,…,z_T=\text{u or d}} f(z_1,…,z_T)q_{z_1} \cdots q_{z_T} \ = \sum_{j=0}^T {T \choose j}q_u^j q_d^{T-j}\Phi(su^kd^{T-k}) $$. 我希望一切順利，我在使用二項式模型時習慣了不同的符號！