套利
顯示一個模型是完整的但不是沒有套利的
讓 $ \mathcal{F}={\Omega, \emptyset} $ 微不足道 $ \sigma $ -代數，並考慮零利率的確定性金融市場模型， $ S_{0} \equiv 1 $ ， 和 $ n=1 $ 額外資產 $ S_{1}(t)=100+t $ . 證明這個模型是完整的但不是沒有套利的。
編輯：有人可以指出我正確的方向。我很迷茫，因為這對我來說似乎很微不足道。
例如，為了表明模型不是沒有套利的，我可以建構一個套利策略，如下所示：
在時間 t： $ \text{buy } K * S_{1}(t) = K * (100+t) \ \text{cash} = - K * (100+t) $
在時間 T： $ \text{sell } K * S_{1}(T) = K * (100+T) \ \text{cash} = (K * (100+t)) - ( K * (100+t)) > 0 $
因此套利。但我不確定我是否正確或如何證明模型是完整的。
沒有不確定性。假設在 $ t=0 $ 我買了一個資產單位 $ 1 $ 並出售 $ 100 $ 資產單位 $ 0 $ . 此外，在 $ t=1 $ , 我關閉了兩個頭寸。在 $ t=0 $ 我的回報是 $ 100-100=0 $ 並且在 $ t=1 $ ， 這是 $ 101-100=1 $ . 因此存在套利。
假設我想獲得回報 $ \xi(T) $ 在期間 $ T $ . 我可以通過投資獲得這個 $ \xi $ 在資產 $ 0 $ 在 $ t=0 $ 並在 $ t=T $ . 因為 $ \xi(T) $ 是任意的，市場是完整的。