有限市場中套利的兩種定義

我已經閱讀了文獻中關於套利機會一詞的兩個定義*。它們是等價的嗎？

考慮可測量空間上的單期市場模型 $ \Omega = {\omega_1, \dots, \omega_M} $ ， 包括 $ n + 1 $ 資產 $ S^0, S^1, \dots, S^n $ ， 其中 $ S^0 $ 是具有無風險利率的無風險資產 $ R \geq 0 $ . 投資組合是 $ n + 1 $ 元組 $ (x_0, x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} $ .

定義 1投資組合 $ (x_0, \dots, x_n) $ 是一個套利機會當且

1. $ x_0 S^0_0 + \cdots + x_n S^n_0 = 0 $ ,
2. $ x_0 S^0_1 + \cdots + x_n S^n_1 \geq 0 $ 對所有人 $ \omega \in \Omega $ ,
3. $ x_0 S^0_1 + \cdots + x_n S^n_1 > 0 $ 對於一些 $ \omega \in \Omega $ .

定義 2投資組合 $ (x_0, \dots, x_n) $ 是一個套利機會當且

$$ x_1 (\frac{1}{1 + R} S^1_1 - S^1_0) + \cdots x_n (\frac{1}{1 + R} S^n_1 - S^n_0) \geq 0 $$ 對所有人 $ \omega \in \Omega $ 至少有一個嚴格的不等式成立 $ \omega \in \Omega $ .

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• 定義 1 來自 Capiński & Kopp 的“離散金融市場模型”（劍橋大學出版社 2012 年），而定義 2 來自 Roman 的“金融數學導論：套利和期權定價”，第 2 版（Springer 2012）。

它們是等價的。根據定義 1，請注意 $ S_1^0 = S_0^0(1+R) $ . 然後

$$ \begin{align*} x_0 S_1^0 + \cdots x_n S_1^n &= x_0 S_0^0 (1+R)+ x_1 S_1^1 + \cdots x_n S_1^n\ &= (-x_1 S_0^1 - \cdots -x_n S_0^n) (1+R)+ x_1 S_1^1 + \cdots x_n S_1^n\ &= x_1 \left(S_1^1 - S_0^1(1+R) \right) + \cdots + x_n \left(S_1^n - S_0^n(1+R) \right)\ &=(1+R)\bigg[x_1\Big(\frac{S_1^1}{1+R} - S_0^1 \Big) + \cdots + x_n\Big(\frac{S_1^n}{1+R} - S_0^n \Big) \bigg]. \end{align*} $$ 也就是說，定義 1 隱含了定義 2。 另一方面，假設定義 2 成立。那麼，讓 $ S_0^0 = 1 $ 和

$$ \begin{align*} x_0 = -x_1 S_0^1 - \cdots - x_n S_0^n. \end{align*} $$ 很容易檢查定義 1 是否成立，注意到 $ S_1^0 = 1+R $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/26032