如何推導嵌套logit模型中選擇嵌套的邊際機率公式？
我試圖了解嵌套 logit 的所有細節，而讓我感到困惑的是選擇嵌套的邊際機率公式。更詳細地說：個體 n 選擇替代物 j 的聯合機率可以被分解為個體 n 選擇巢 k 的機率乘以個體 i 在選擇巢 k 的條件下選擇 j 的機率。
據我了解，我們將決策過程分解為兩個模型：上模型和下模型。在上層模型中，決策者選擇一個巢穴，而在下層模型中，決策者選擇巢穴內的替代方案。說個體 n 在巢 k 中選擇備選 j 的效用是
$$ U_{njk} = W_{nk} + Y_{nj} + \epsilon_{nk} + e_{nj} $$ 在哪裡 $ e_{nj} $ 是帶有比例參數的 EV I $ \lambda_k $ 和 $ \epsilon_{nk} $ 是這樣的，複合誤差項是 EV I，比例參數為 1。
較低的模型是微不足道的，它是一個簡單的 logit。但是，上層模型對我來說並不清楚。個體 n 選擇巢 k 的預期效用是
$$ EU_{nk} = W_{nk} + \lambda_kI_{nk} + \epsilon_{nk} $$ 在哪裡 $ \lambda_kI_{nk} $ 是 n 將從嵌套中的選擇中獲得的預期效用。選擇巢 k 的邊際機率為
$$ P_{nB_k}=\frac{e^{W_{nk}+\lambda_kI_{nk}}}{\sum_{l=1}^K e^{W_{nl}+\lambda_kI_{n}}} $$ 我的問題是這個機率如何有一個 logit 形式，如果 $ \epsilon_{nk} $ 是不是極值？或者是嗎？因為據我了解，兩個極值變數之和不是極值。
謝謝！
事實證明，我之前的邏輯是錯誤的。這是應該如何做的。
選巢的邊際機率 $ k $ 是
$$ P_{nB_k} = P\left[\max_{j\in B_k} U_{njk} \geq \max_{j\in B_s} U_{njs}, \forall s\neq k \right]\ = P\left[W_{nk}+\epsilon_{nk}+\max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj}) \geq W_{ns}+\epsilon_{ns}+\max_{j\in B_s}(Y_{nj}+e_{nj}), \forall s\neq k \right] $$ 那麼作為 $ e_{nj} $ 是獨立同居 $ Gumbel(0,\lambda_t) $ , $ \max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj}) $ 是具有位置參數的 iid Gumbel $ \lambda_kI_{nk} $ 和尺度參數 $ \lambda_k $ . Gumbel 分佈通過線性變換保留，因此
$$ \max_{j\in B_k}(Y_{nj}+e_{nj})=\lambda_kI_{nk}+\xi_{nk} $$ 在哪裡 $ \xi_{nk} $ 是獨立同居 $ Gumbel(0,\lambda_t) $ . 代回邊際機率，得到 $$ P_{nB_k} = P\left[(\epsilon_{nk}+\xi_{nk})-(\epsilon_{nk}+\xi_{nk}) \geq (W_{nk}+\lambda_kI_{nk})-(W_{ns}+\lambda_sI_{ns}), \forall s\neq k \right]\ =\frac{e^{W_{nk}+\lambda_kI_{nk}}}{\sum_{s=1}^Ke^{W_{ns}+\lambda_sI_{ns}}} $$ 最後一個等式源於以下事實： $ \epsilon_{nk}+\xi_{nk} $ 是獨立同居 $ Gumbel(0,1) $ 通過假設 $ \epsilon_{nk} $ .