求解理性預期模型 - 模擬人生形式
我正在嘗試解決我的第一個 ratex 模型並使用 Dynare 製作一些脈衝響應函式。我正在關注Leeper (1991)。這是我到目前為止所做的：
效用函式是 $ \log(c_{t})+\log(m_{t}) $ .
我得到兩個一階條件：
(1) $ \frac{1}{R_{t}} = \beta E_{t}\frac{1}{\pi_{t+1}} $ 和
(2) $ m_{t} = c[\frac{R_{t}}{R_{t}-1}] $
在哪裡 $ R_{t} $ 是總名義利率， $ \pi_{t} $ 是總通貨膨脹率和 $ c $ 消費的確定性穩態值。
假設貨幣當局遵循以下規則：
$ R_{t} = \alpha_{0} + \alpha \pi_{t} + \theta_{t} $ 在哪裡 $ \theta_{t} = \rho_{1} \theta_{t-1} + \epsilon_{1t} $ , $ |\rho_{1}|<1 $
財政當局如下：
$ \tau_{t} = \gamma_{0} + \gamma b_{t-1} + \psi_{t} $ 在哪裡 $ \psi_{t} = \rho_{2} \psi_{t-1} + \epsilon_{2t} $
然後，我將貨幣政策規則代入（1），並將兩個政策規則代入政府的流量預算約束，並圍繞穩態線性化。我最終得到與 Leeper 相同的結果：
(3) $ E_{t}\widetilde{\pi_{t+1}} = \alpha \beta \widetilde{\pi_{t}} + \beta \theta_{t} $
(4) $ \varphi_{1} \widetilde{\pi_{t}} + \widetilde{b_{t}} + \varphi_{2}\widetilde{\pi_{t-1}} - (\beta^{-1}- \gamma)\widetilde{b_{t-1}} + \varphi_{3} \theta_{t} \ +\psi_{t} + \varphi_{4} \theta_{t-1} = 0 $
其中 varphi 是穩態常數。到目前為止，我剛剛複制了 Leeper 所做的事情。由於我想製作 IRF，我相信我必須“解決”模型。我還沒有在大學裡學過這個，所以我知道的都是通過閱讀線上講義。我想使用模擬人生表格，即
$$ ![enter image description here $$$$ 1 $$]$$ 1 $$ 這是我最終得到的系統：
$$ ![enter image description here $$$$ 2 $$]$$ 2 $$ 我轉發 (4) 一個時期以獲得 $ b_{t+1} $ 並將所有內容以矩陣形式放置。 $ \eta $ 是來自 (3) 的預測誤差。
我為矩陣道歉，我不確定如何在 TeX 中編寫矩陣，但希望你能明白。
現在我想將矩陣堆疊如下：
大寫的 gamma 和 phi 是上面的係數矩陣。
應該有一個預測誤差矩陣，但我不完全確定如何獲得它。但在這一點上，這是一個小問題。如果我理解正確，我可以通過反轉塊矩陣來解決這個問題，因為它是對角的，所以逆只是 gamma 和 phi 的逆。但是，由於 phi_0 是單數，我無法反轉它。所以我有兩個問題：
(1) 在這種情況下如何處理奇異矩陣？我看過 Chris Sims 的一些論文，他展示瞭如何處理奇異矩陣，但我對線性代數的了解太基礎了，無法理解。
(2) 一旦我設法解決了模型，我可以使用 Dynare 來製作 IRF 嗎？
我想我已經設法解決了。然而，並不是我最初希望的方式。我使用給定的條件和一些假設簡化了堆疊矩陣。這是我的解決方案：
方程。(3) 我寫成 $ \pi_{t+1} = \alpha \beta \pi_{t} + \beta \theta_{t} + \eta_{t+1} $
轉發方程 (4) 一個週期並將其排列為 $ b_{t+1} = -\varphi_{1} {\pi_{t+1}} - \varphi_{2}{\pi_{t}} + (\beta^{-1}- \gamma)\widetilde{b_{t}} - \varphi_{3} \theta_{t+1} \ - \psi_{t+1} - \varphi_{4} \theta_{t} = 0 $
$ \pi_{t+1} $ 由等式簡化。(3)
$ \theta_{t+1} = \rho_{1} \theta_{t} + \epsilon_{1,t+1} $
$ \psi_{t+1} $ 也可以寫成它的 AR(1) 公式。將這四個方程以矩陣形式表示：
這就是我所追求的。然而，這讓我想知道我上面嘗試的方法有什麼問題。查看係數矩陣的上角（即左上角的 4x4 矩陣）很明顯 $ \Gamma_{0}^{-1} \Gamma_{1} $ . 但我不確定矩陣的其餘部分。
問題（2）仍然存在，一旦我解決了感興趣的變數，我準備好製作 IRF 了嗎？
如果您計劃使用 Dynare，則無需使用 Sim 方法“求解”模型。Dynare 為您處理解決方案算法。
如果你想快速獲得 IRF，我建議將模型的線性化版本寫在一個
.mod文件中，然後從 Matlab 中簡單地執行dynare model.mod.這裡有一些範例
.mod文件供您使用（只需將方程式替換為您自己模型的方程式）。您可能還想看看Dynare 論壇，它可以幫助您解決與設置模型和解決問題相關的各種問題。