關於勞動力資本比率的一個簡單問題
我沒有太多的宏觀經濟學培訓，所以我想知道這個說法是否準確：
“對企業的貸款減少 3000 萬美元會導致勞動力市場總活動減少 4500 萬美元。由於過去 30 年的資本與勞動力比率為 1.5，因此這些數量彼此一致。”
不要擔心數字是否正確，這不是我想知道的，只是理論上的陳述。對於更多的上下文，我正在處理當地勞動力市場分析，我對當地的信貸感到震驚，我只是想看看這些數字在信封背面計算意義上是否有意義。我是本科生，所以這是我第一次做這種分析。我的一部分認為它們確實有道理，因為商業貸款是一種資本形式，但我的另一個更微觀的部分想知道，一美元的資本怎麼可能轉化為勞動力市場上 1.5 美元的活動，因為企業不能直接向工人支付超過那一美元。也可能是這種比較根本沒有意義。
tl;博士：
該陳述一定有一些錯誤，如果資本-勞動力比率為 1.5，則減少 30 百萬美元，如果資本使用應導致勞動力市場活動減少 20 工廠，但如果資本-勞動力比率將是 $ \approx 0.66 $ 那麼該陳述將是完全正確的，減少 3000 萬貸款將導致經濟活動減少 4500 萬。這是因為如果 $ K/L=0.66 $ 我們知道 $ K=-30 $ 我們也自動知道 $ -30/L=0.66 \implies L\approx -45 $ .
因此，如果我們假設作者打錯了字，他們的意思是說資本勞動比率 $ K/L=0.66 $ 不是 $ 1.5 $ ，該聲明將是有意義的。
這是因為，一般來說，經濟中的資本和勞動力不能單獨使用，而是在我們試圖最大化經濟產出或其他變數（如利潤）時，必須按一定比例組合或“混合”。
請注意，您似乎假設公司將利用這 30 筆貸款來支付工人的工資，但這完全是錯誤的假設。相反，公司將使用這筆貸款購買價值 3000 萬的資本，然後除了價值 3000 萬的資本外，他們還必須僱用工人並向他們支付額外的 4500 萬工資（該情景中資本和勞動力的總支出）以上是7500萬）。用於償還資本貸款和支付工資的資金將來自公司的收入，這些收入並未在上述簡單場景中建模。
更長的解釋
生產通常需要同時使用資本和勞動力（可能有一些例外，例如為小觀眾現場閱讀一本書等）。例如，經常使用的生產函式是 Cobb-Douglass 生產函式 $ Y=AK^{\alpha}L^{1-\alpha} $ ， 和 $ 0<\alpha<1 $ .
請注意，如果公司只使用 $ K $ 並且沒有勞動力 $ L=0 $ 無論他們在這個問題上投入多少資金，他們的產出都將為零。自 alpha 以來的下一個註釋 $ 0<\alpha<1 $ 使用任何一種的收益都會遞減 $ K $ 或者 $ L $ . 因此，僅僅使用是沒有意義的 $ 1 $ 勞動力並將所有其他資源用於 $ K $ ， 或相反亦然。
為了說明這一點，考慮公司的預算最多可以負擔 100 個單位的勞動力或資本，因此其預算約束為 $ L+K=100 $ . 你可以看到，如果公司會使用 $ 1 $ 勞動和 $ 99 $ 資本單位產出（假設 $ A=1 $ 和 $ \alpha=0.4 $ 將會：
$$ Y=99^{0.4}1^{0.6} \approx 6.28 $$
但是，如果我們使用更平衡的資本和勞動力組合（例如 50/50），我們將獲得更高的產出：
$$ Y=50^{0.4}50^{0.6} = 50 $$
因此，在給定生產函式的情況下，總會有一些最優的資本-勞動力比率 $ \frac{K^}{L^} $ 這將使企業的產出最大化。例如，在上面的例子中，我們可以通過使用以下拉格朗日函式最大化輸出相對於預算約束來找到最優比率：
$$ \mathcal{L}=K^{0.4}L^{0.6} - \lambda ( K+L-100) $$
通過將一階條件設置為零，並使用約束，上述問題產生以下最優數量 $ K^=40 $ 和 $ L^=60 $ . 事實上，您可以驗證您的數量是否真正最大化了產量，因為它不能變得更大：
$$ Y=40^{0.4}60^{0.4} \approx 51.02 $$
資本-勞動力比率處於最佳狀態 $ \frac{K^}{L^}=\frac{40}{60}=0.66 $ . 因此，在這種情況下，想要最大化產出的公司會選擇資本，使得資本-勞動力比率為 0.66。
因此，在上述簡單模型中，如果我們知道該公司使用了 3000 萬單位的資本，它將使用 $ 30/L=0.66\implies L= 45 $ 勞動單位。這同樣適用於資本使用的變化，因為在上述簡單模型中 $ K/L $ 只要企業想要最大化產出（然後轉化為企業收入），比率就是固定的。因此，從資本使用的任何變化，您都可以推斷出勞動力使用的變化。