關於評價不同類型價格指數有效性的指數數論的9個測試
如果我錯了，請糾正我，我在Wikipedia中看到了關於索引數理論的部分，我將其理解為“如果索引 x（Laspeyres、Paasche 等）滿足所有這些測試，那麼它是 100%高效。如果滿足其中大多數（有多少？或哪些測試？），那麼它是可以接受的“。
我還閱讀了論文(1993) 中提到的第 2 部分，對此我有 3 個問題。
- 這個測試現在使用嗎？有沒有關於它的最新論文？
- 那篇論文的結論（第 78 頁）是最好的經濟方法而不是測試方法。這個區別如何？
- 測試的例子是什麼？無論是在維基上還是在紙上，我都找不到一個例子來說明文本。
- 這個測試現在使用嗎？有沒有關於它的最新論文？
據我所知，（理論上的）指數理論現在不再那麼流行了。感覺可能是我們對從理論角度了解的主題最了解。當然這並不意味著不能有新的發現，但我的感覺是這個話題有點“過時”了。
不幸的是，大學也不再教授指數理論（非常詳細），這有點不幸，因為我們一直使用價格和數量指數（沒有意識到它們的各種局限性。）
我的猜測是，如今與指數相關的大部分工作都是由負責為政策提供指數的（統計）政府機構完成的。
- 那篇論文的結論（第 78 頁）是最好的經濟方法而不是測試方法。這個區別如何？
測試方法試圖通過讓它們滿足盡可能多的所需測試（屬性）來構造索引號。您可以從數學公理的意義上考慮測試。您陳述了一些您認為價格指數應該滿足的理想屬性，然後您嘗試找到滿足這些屬性的指數。一般來說，沒有任何指數可以滿足所有這些要求，但它可以讓您清楚地了解各種指數之間的權衡。
另一方面，指數理論的經濟學方法基於微觀經濟學消費者（和生產者）理論建構指數。
考慮標準支出最小化問題： $$ c(p,u) = \min_q p’q \text{ s.t. } u(q) \ge \overline{u}. $$ 現在修復實用程序級別 $ u $ 並考慮從 $ p_0 $ 到 $ p_1 $ . 然後可以看看生活成本指數： $$ \frac{c(p_1,u)}{c(p_0,u)}. $$ 這給出了您在價格上所需的收入金額 $ p_1 $ 達到實用水平 $ u $ ，作為您在價格上所需收入的一小部分 $ p_0 $ 達到相同的效用水平 $ u $ . 如果它大於一，那么生命就變得更加昂貴。如果它低於 1，則生命變得不那麼昂貴。
因此，您可以將其視為價格指數（從期間 $ 0 $ 到時期 $ 1 $ ).
這種生活成本指數的一個問題是，一般來說，該指數會隨著效用水平而變化 $ u $ . 所以你會有很多索引。兩個有吸引力的選擇是實用程序級別 $ u_0 $ 在基準年和效用水平獲得 $ u_1 $ 價格變動後獲得。這給出了： $$ \frac{c(p_1, u_0)}{p_0’ q_0} \text{ and } \frac{p_1’ q_1}{c(p_0, u_1)}. $$ 作為 $ c(p_1, u_1) = p_1’q_1 $ 和 $ c(p_0, u_0) = p_0’ q_0 $ .
或者，如果您假設效用函式是同位的，那麼我們有 $ c(p,u) = c(p) u $ 在哪裡 $ c(p) = c(p,1) $ 所以： $$ \frac{c(p_1,u)}{c(p_0,u)} = \frac{c(p_1)}{c(p_0)}, $$ 這現在獨立於實用程序級別 $ u $ ，所以有唯一的價格指數。
對於幾個（相似的）效用函式，您實際上可以計算該比率，從而獲得準確的價格指數（即價格指數，它是某些效用函式的生活成本指數）。
請注意，如果偏好是相似的，那麼 $$ \frac{p_1’ q_1}{p_0’ q_0} = \frac{c(p_1,u(q_1)}{c(p_0, u(q_0))} = \frac{c(p_1)}{c(p_0)}\frac{u(q_1)}{u(q_0)} $$ 所以 $ \frac{c(p_1)}{c(p_0)} $ 就像一個價格指數和 $ \frac{u(q_0)}{u(q_1)} $ 就像一個數量指數。
- 測試的例子是什麼？無論是在維基上還是在紙上，我都找不到一個例子來說明文本。
例如，考慮 Laspeyres 價格指數（從價格 $ p_0 $ 到價格 $ p_1 $ ): $$ L(p_0, q_0, p_1, q_1) = \frac{\sum_i p_{1,i} q_{0,i}}{\sum_i p_{0,i} q_{0,i}} = \frac{p_1 ‘q_0}{p_0’ q_0}. $$尺度變化不變性檢驗要求
：$$ L(\alpha p_0, \beta q_0, \alpha p_1, \gamma q_1) = L(p_0, q_0, p_1,q_1). $$ 這對 Laspeyres 來說是滿意的： $$ L(\alpha p_0, \beta q_0, \alpha p_1, \gamma q_1) = \frac{(\alpha p_1)’(\beta q_0)}{(\alpha p_0)’ (\beta q_0)} = \frac{p_1’ q_0}{p_0’q_0} = L(p_0, q_0, p_1, q_1). $$ 時間的對稱處理要求： $$ L(p_0, q_0, p_1,q_1) = \frac{1}{L(p_1, q_1, p_0, q_0)} $$ 對於 Laspeyres，該條件（通常）不滿足： $$ \frac{p_1’ q_0}{p_0’ q_0} \ne \frac{1}{\dfrac{p_0’ q_1}{p_1’ q_1}} = \frac{p_1’ q_1}{p_0’ q_1}, $$ 除非，例如， $ q_1 = q_0 $ . （右手邊是 Paasche 指數）。同樣，您可以證明Laspeyres 也不會滿足循環性檢驗。