年度數據和異變異數性（Engle 的 ARCH 檢驗）
GARCH 模型通常應用於金融時間序列（每日、每週或每月股票收益）。較低的頻率，例如季度和年度時間序列呢？這可能包括宏觀經濟變數（例如 GDP、總消費）或會計數據（例如賬面價值……）
問題：在年度經濟數據中是否有隨時間變化的第二時刻的證據？是否有論文在低頻下應用 ARCH 測試？在這種情況下，通常使用哪些滯後？
我很好奇以低得多的頻率工作是否/如何影響每日股票收益的“標準”GARCH 模型？
年度經濟數據中是否存在隨時間變化的第二時刻的證據？
是的，雖然在金融方面沒有那麼多，但在經濟學方面總體來說是肯定的。例如，被高度引用的Engle (2001) , GARCH 101: The use of ARCH/GARCH models in Applied econometrics, 除了每日數據的例子外，還提到了一些季度數據的例子。或者更直接地，一個實際使用低頻數據（每年/每季度/每月）並使用 GARCH、GARCH-SK 的變體的範例是Narayan 和 Liu (2018)。另一個直接的例子是Kontonikas (2004)，他將 GARCH-M 模型應用於季度和月度通脹數據。所以 GARCH 是並且可以是許多季度或年度頻率的經濟序列。
通常，當涉及到 GDP、失業率、通貨膨脹等宏觀變數時，人們會使用季度數據或年度數據，而在涉及金融（例如股票價格、比特幣等）時，人們會使用更高頻率的數據。這是因為通常具有高頻率意味著更多數據。然而，同時擁有更多數據並不總是更好。例如，獲取每日頻率的 GDP 數據可能只會增加噪音，因此嘗試在那裡獲取高頻數據是沒有意義的。然而，匯率或股票價格等變數並不一定如此。特定研究的最佳頻率必須在一定程度上視具體情況而定。此外，GARCH 模型在高頻數據中更為常見，因為它們主要用於解決波動性分群等問題，
在這種情況下，通常使用哪些滯後？
GARCH 模型中的滯後不取決於數據本身的頻率（當然，高頻數據中的自相關比低頻數據中的自相關性更高）。您包括滯後以適當地模擬自相關。這將取決於您是否擁有高頻數據或低頻數據。據說證據表明，通常很難擊敗 GARCH(1,1)（參見Hansen et al. 2001），這通常適用於各種頻率*，但如果你想“按書本”做到這一點，你應該只需對此進行測試，此外您還可以估計幾個具有不同的模型 $ p $ （和 $ q $ 以及即使這不是您問題的一部分）並比較它們的性能（一旦您為主模型編寫程式碼，實際上並沒有那麼多額外的工作）。
- 雖然請注意這篇論文已經收到了一些批評，所以你不應該只看它的表面價值——見這裡