基本 Solow 增長模型：穩定性證明
今年夏天，我正在閱讀 McCandless 的“RBC 基礎知識”，以預覽我在即將到來的秋季學期需要了解的內容。沒過多久，我就找到了一個我可以輕易接受但無法證明的陳述。在第 9 頁上導出的穩態條件後 $ (\delta + n)\bar{k} = \sigma A_0 f(\bar{k}) $ 在零技術增長體制下（其中 $ \delta $ 是折舊和 $ n $ 是勞動力的增長率），作者說“正穩態的穩定性可以從方程中看出
$$ k_{t+1} = g(k_t) = \frac{(1-\delta)k_t + \sigma A_0 f(k_t)}{1+n} $$請注意，在 0 和正數之間 $ \bar{k} $ ， 功能 $ g(k_t) $ 在 45 度線以上，所以 $ k_{t+1} $ 大於 k_t。”他提供了一個標準外觀的 Solow 模型狀態圖，我可以在其中以圖形方式驗證這一點，但不能通過分析來驗證。 我試圖證明書中的每一個陳述，以便在深入研究之前更好地熟悉宏觀經濟理論的細節，但我完全不知道如何證明這一點 $ k_{t+1} > k_t $ 什麼時候 $ 0 < k_t < \bar{k} $ 反之亦然。我首先嘗試操縱資本運動方程來直接證明它，但我無法證明。我一直在嘗試採用的下一個策略是微分資本運動方程並證明它的導數在穩態點小於 1，但它失敗了：
$$ \frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t} = \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f’(k_t)}{1+n} > \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f’(\bar{k})}{1+n} = \frac{(1-\delta)+(\delta+n)}{1+n} = 1 $$ 有沒有人有我可以遵循的替代策略？這兩天讓我發瘋了。
為了穩定，我們想要
$$ \frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}\Big|_{\bar k} <1 \implies \frac{(1-\delta) + \sigma A_0 f’(\bar k)}{1+n} <1 $$ $$ \implies f’(\bar k) < \frac {\delta+n}{\sigma A_0 } = \frac {f(\bar k)}{\bar k} $$ 所以我們需要資本的邊際產量小於穩態時的平均產量。
等效地，我們需要 $ \bar k f’(\bar k) < f(\bar k) \implies f(\bar k)-\bar k f’(\bar k)>0 $ . 這成立，不是嗎？除此以外…
為了完整起見，讓我在連續時間框架中說明這一點。在最簡單的情況下，Solow 方程是
$ \dot{k} = s f(k) - \delta k = \phi(k) $
然後我們有
$ \frac{\partial \phi}{\partial k} = s f’(k) - \delta = \frac{sf’(k)k - \delta k }{k} $ .
在穩定狀態（即， $ \dot{k} = \phi(k^{\ast}) = 0 $ ）， 我們有 $ \delta k = s f(k) $ ， 因此
$ \left. \frac{\partial \phi}{\partial k} \right|_{k=k^{\ast}} = \frac{s f’ k - s f(k)}{k} = \frac{s}{k} f(k) \left[ \frac{k \cdot f’}{f(k)} - 1 \right] $
由於兩者 $ \frac{s}{k} $ 和 $ f(k) $ 總是積極的，該表達式的符號取決於括號中的術語。但請記住 $ \frac{k \cdot f’}{f(k)} $ 是資本的產出彈性，如果小於 1 $ f $ 是凹進去的 $ k $ ， 意思是 $ \frac{\partial \phi}{\partial k} $ 在 $ k^{\ast} $ 是負數。因此，由Zhang (2005) 中的定理3.2.1， Solow 模型中的穩態是穩定的。