對應於隨機 EZW 遞歸效用的貝爾曼方程
可能是一個基本問題，但我很困惑如何根據 Epstein-Zin-Weil 偏好和一些隨機約束寫下這個遞歸效用函式的 Bellman。
$$
U_t = \left {(1-\beta) C_t^{1-\frac{1}{\eta}} + \beta[E_t(U_{t+1}^{1-\gamma})]^{\frac{1-\frac{1}{\eta}}{1-\gamma}}\right }^{\frac{1}{1-\frac{1}{\eta}}} $$它已經看起來像一個貝爾曼方程，任何指針？
您所擁有的是任意策略下的偏好——有些人稱之為預值函式。唯一缺少的是最大運算符。寫有最大化（並使狀態和選擇明確），貝爾曼方程是
$$ \begin{align} U(K_t, \epsilon_t) =& \max_{C_t} { (1-\beta) C_t^{1 - \frac{1}{\eta}} + \beta [E_t(U(K_{t+1}, \epsilon_{t+1})^{1-\gamma})]^{\frac{1 - \frac{1}{\eta}}{1 - \gamma}} }^{\frac{1}{1 - \frac{1}{\eta}}} \ \text{s.t. } & C_t \in F(K_t, \epsilon_t) \ & K_{t+1} = G(K_t, C_t, \epsilon_t), \ & \epsilon \sim \Phi \end{align} $$
在哪裡 $ K_t $ 是狀態， $ F(K_t) $ 是選擇集， $ \epsilon_t $ 對 CDF 感到有些震驚 $ \Phi $ （假設在選擇之前透露 $ C_t $ ; 它不需要是 IID），並且 $ G(K_t, C_t) $ 是運動定律。
遞歸偏好的最大化與標準的時間可分離偏好幾乎相同，甚至可以很好地使用動態程式方法（例如，如果您設置了一些 VFI 程式碼，您可以通過更改預值函式來使偏好遞歸）。唯一真正的變化是，我們現在在預值函式的 RHS 上有不同的狀態和時間聚合器。這些關於遞歸偏好的註釋可能會有所幫助，特別是第 5 節（“優化和貝爾曼方程”）。
使約束隨機化不會改變問題的細節——它類似於你如何用隨機約束來製定和解決時間可分離的等效問題——除非你有一些特定的結構會改變遞歸偏好的事物與時間可分離的偏好不同。我想不出這樣的結構，但我敢肯定，通過一些探勘可以找到它們。
與遞歸偏好不同的一件事是效用縮放——週期效用被縮放 $ (1-\beta) $ . 這一點在附註的第 3 頁上進行了討論。縮放允許以消費單位衡量效用，因此一系列確定的恆定消費水平的效用是相同的消費水平，即 $ U(c,c,…) = c $ . 嘗試在沒有縮放的情況下顯示這種對稱性以查看其結果是一個很好的練習（如果您使用風險聚合器進行此操作，請記住，確定性等價物就是確定性本身）。