具有兩個折扣因子的貝爾曼方程

對於以下社會計劃者的問題

$$ \max \mathbb{E_{0}}\sum_{s=0}^{\infty}\beta_{1}^{s}(\alpha U(C_{s}^{1}))+\beta_{2}^{s}((1-\alpha)U(C_{s}^{2})) $$ $$ s.t.\ \text{some constraints including C, K, N, etc.} $$

有兩個不同的家庭，折扣係數不同， $ \alpha $ 和 $ 1-\alpha $ 分別為 HH 類型 1 和 2 分配權重。下面的貝爾曼方程是解決規劃者問題的正確公式嗎？ $$ V(K) \equiv \max\ \alpha U(C^{1})+(1-\alpha) U\left(C^{2}\right)+\beta_{1} \alpha \mathbb{E} V\left(K^{\prime}\right)+\beta_{2}(1-\alpha) \mathbb{E} V\left(K^{\prime}\right) $$

不。考慮以下問題：每個時期，一個總消費單位從天而降，可以以任何方式在兩個代理之間分配。他們的每期效用就是他們消耗了多少。我們讓 $ \alpha=1/2 $ . 假使，假設 $ \beta_1>\beta_2 $ ; 第一個代理更有耐心。所有的最優分配都有一個非常簡單的形式：消費單位在第一個時期任意分配，在隨後的所有時期中，agent 1 得到一切。這意味著延續的價值函式完全獨立於 $ \beta_2 $ ，這顯然不是您建議的形式。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/42727