Benveniste-Scheinkman 條件給出仍然依賴於價值函式的導數
我的標題的意思通常是，如果我們有一個像這樣的價值函式
$$ V(K,I) = \max_{K’,I’} F(K’) +\beta V(K’,I’) $$ 一階條件會給我們一些取決於價值函式的導數的東西，比如 $ V_1(K’,I’) $ . 我們通過使用 BS 條件來處理這個問題 $ V_1(K,I) $ ，然後提前一個時期？ 什麼時候 $ V_1(K,I) $ 仍然取決於 $ V_1(K’,I’) $ ， 儘管？（看 $ (*) $ 下面舉個例子，如果你想跳過設置）
這是一個例子。請注意，下標表示導數，下標中的數字是我們取導數的輸入。負下標是個例外，例如 $ I_{-1} $ ，其中下標表示過去的一個時期（在 $ -1 $ ）。一個素數表示未來的一個時期（t+1），兩個素數表示未來的兩個時期。
回到問題：我們有價值函式
$$ V(K,I_{-1}) = \max_{I,K’’,C}u(C) + \beta V(K’,I) \ \text{ s.t. } C+I \leq f(K) \ \text{ and } I =K’’ - (1-\delta)K' $$ 所以基本上我們有一個簡單的投資模型，需要兩個時期來建立。 $ f(K) $ 是我們的生產函式。 FOC的給予
$$ u_1(c) = \lambda_1 \text{, $\lambda_1$ is the multiplier on the first constraint }\ \lambda_2 = 0 \text{ multiplier on second constraint is zero} \ \beta V_2(K’,I) = -\lambda_1 $$ 現在得到 $ V_2 $ 我們使用 BS 條件，它給出 $$ V_2(K,I_{-1}) = \beta V_1(K’,I) $$ 因為 $ K’ = I_{-1} + (1-\delta)K $ 從第二個約束。再次使用 BS 條件得到 $$ V_1(K,I_{-1}) =f_1(K) + (1-\delta)V_1(K’,I) \tag{} $$，再次，因為 $ K’ = I_{-1} + (1-\delta)K $ 前面的方程是我的問題重申一下，我們使用 BS 條件來求值函式的導數，但是在 $ () $ BS 條件取決於我們要查找的內容。我們如何處理這個？
我覺得像 $ V_1(K’I) $ 可能只是 $ 1 $ ， 或者 $ 0 $ ，但是這使得 $ V_2 $ 是 $ \beta $ 或者 $ 0 $ ，這似乎是錯誤的……
我想我現在會提供一個基本的答案，因為我有點想通了，希望有人發布更完整的答案，或者我稍後再添加更多。
基本上，我們可以使用前向或後向迭代。例如，對於前向迭代（假設我們知道 $ V_1 $ 在 $ t=0 $ ， 稱它為 $ V_{initial} $ )，那麼我們可以用它來找到 $ V $ 有時 $ t $ 只需一遍又一遍地使用方程式。或者我們可以向後工作，如果由於某種原因向前迭代不起作用（此時我不確定為什麼/如何與向前迭代）。我不認為該解決方案太簡潔，但它確實有效。
或者，如果我們處於穩定狀態，那麼 $ V_1(K,I_{-1}) = V_1(K’_I) $ ，所以我們可以簡單地重新排列方程並求解。
同樣，這不是一個很好的答案，但它是正確的。