給定的 Cobb-Douglas 生產函式在在w得到rrr無論輸入電平如何。為什麼？
市場經濟由以下技術提供：
$$ Y = K^\alpha L^{1-\alpha} \tag{1} $$
企業具有競爭性，投入價格為：
$$ r = \alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = \alpha(\frac{L}{K})^{1-\alpha} \tag{2} $$
$$ w = (1-\alpha) K^\alpha L^{-\alpha} = (1-\alpha) (\frac{L}{K})^{-\alpha} \tag{3} $$
我可以解決 $ \frac{L}{K} $ ，並獲得以下表達式：
$$ r = \alpha (1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}w^{\frac{\alpha-1}{\alpha}} \tag{4} $$
這是一個獨立於輸入組合連結價格的函式。
1）這是正確的嗎？
- 最後一個結果的經濟解釋是什麼？
澄清：價值觀 $ w,r $ 不獨立於輸入組合：您已經解決了 $ K/L $ .
- 除非你假設產出的價格等於 1，否則會有一個小錯誤，因為產出價格會影響要素價格。
2）如果存在利潤最大化對 $ (K,L) $ , 那麼對於所有 $ \alpha \in \mathbb{R}_+ $ $ (\alpha K,\alpha L) $ 也將是利潤最大化。這是因為您正在查看的生產函式具有恆定的規模收益 (CRS)。
CRS 的一個結果是，如果函式是可微的，那麼兩個邊際產品將是零次同質的，因此 $ r $ 和 $ w $ 只會決定比例 $ K $ 和 $ L $ ，而不是他們的水平。
這是一個微妙的問題。首先讓我們舉一個數字例子來看看這個令人頭疼的謎語。認為$$ \alpha =1/2 \implies Y = K^{1/2}L^{1/2} $$
並且外生給定的投入價格是
$$ r=1/8,,, w=4. $$
重點是
$$ \begin{cases} \frac {Y}{2K} = 1/8 \ \ \frac{Y}{2L} = 4 \end{cases} \implies K/4 = 8L \implies \left(L/K\right)^* = 1/32 $$
這給了我們價值 $ L/K $ 滿足兩個一階條件。
但是讓我們遵循 OP 的邏輯，並將 foc 編寫/解決為
$$ \begin{cases} \frac {K^{1/2}L^{1/2}}{2K} = 1/8 \ \ \frac{K^{1/2}L^{1/2}}{2L} = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac {L}{K} = 1/16 \ \ \frac{L}{K} = 1/64 \end{cases} $$
**哎呀。**該系統現在看來是不可能的。但似乎就在上面我們已經解決了完全相同的系統。而且我們沒有做任何非法的數學運算，比如除以零或任何東西，那麼怎麼可能得到上述矛盾的結果呢？…
但確實我們做了一些“非法”的事情，雖然不是狹義的數學運算：通過分別求解每個foc $ L/K $ 我們將優化導致具有兩個未知數和兩個方程的系統的二元函式的問題轉化為直接求解具有一個未知數的系統的問題（ $ L/K $ ) 和兩個方程。
毫不奇怪，它將僅針對外生參數的特定組合提供解決方案，由 eq 表示。 $ (4) $ 的OP。但這不再是競爭企業的利潤最大化問題。
另一種說法是，考慮到這裡被視為外生的是投入價格，並非所有投入比率都滿足 foc