與 IRTS 的競爭平衡
假設我們有一個靜態經濟，只有一個公司和一個消費者。消費者擁有公司並決定消費和工作的數量：$$ \max U(c,1-n_s)\ \text{s.t.} \ pc\leq wn_s+\pi $$ 公司正在最大化利潤：$$ py-wn_d\ \text{s.t.} \ y\leq F(n_d) $$ 我們假設生產函式的特徵是規模報酬遞增， $ F(0)\geq 0. $ . 我們如何證明不存在競爭均衡？
既然我們有 F 是 IRTS 那麼 $ F(\lambda k,\lambda n)\geq\lambda F(k,n) $ 並且基於 CE 與規模報酬遞增不一致的定理，因為有競爭力的公司沒有足夠的收入來為其投入支付有競爭力的價格，所以首先就不會有 CE。為了證明這一點，我們需要遵循動態規劃還是有其他方法？
這是兩者實際上兼容的範例：消費者的效用函式 $ U:\mathbb{R}+\to\mathbb{R} $ 是（誰）給的 $ U(c,1-n_ns)=c-n_s $ ，初始勞動禀賦為 $ 1 $ 和 $ F:\mathbb{R}+\to\mathbb{R} $ 是（誰）給的$$ F(n)=n(1-e^{-n}). $$ 此功能具有 IRTS，但在任何輸入量下仍將一個勞動單位轉化為少於一個消費單位。如果讓消費價格為 $ 1 $ 和 $ w\geq 1 $ ，你有一個競爭均衡，在這個均衡中什麼都不生產，消費者只是消費他們的禀賦。
Side rant： IRTS 的通常定義是當輸入乘以一個大於 $ 1 $ ，由此產生的輸出增加超過比例。在這個定義下，沒有生產函式的投入為 $ 0 $ 是可行的有IRTS。即使一個人將自己限制在非零輸入，這個定義也不會像人們想像的那樣起作用。具有 IRTS 的生產函式的標準範例是 Cobb-Douglas 生產函式，其中指數之和大於 $ 1 $ . IRTS 的標准定義應用於包含一些（但不是全部）條目的輸入組合 $ 0 $ 將表明 IRTS 在這裡不成立。當我們將自己限制為產生正輸出的輸入組合時，它確實有效，範例中的函式就是這種類型。
但是，如果假設消費者更願意將一些勞動轉化為消費，並且生產函式在零投入的情況下產生零產出並且是連續遞增的，並且消費者的效用函式嚴格遞增，則可以證明不存在競爭均衡。內飾。例如，對於 Cobb-Douglas 效用，消費者既享受消費又享受休閒的每個捆綁對消費者來說都比他們僅以正數享受其中一個的捆綁更好。由於根據第一福利定理（這裡的假設成立），每個競爭均衡都是帕累託有效的，因此這裡必須產生一定量的消費，這與利潤最大化是不相容的。確實，假設有一個均衡 $ p $ 消費品的價格和 $ w $ 工資。由於消費者的效用函式在內部嚴格遞增，最優消費束只有在 $ p>0 $ 和 $ w>0 $ . 讓 $ c_e $ 和 $ n_e $ 是均衡的消費和勞動力供給。效率要求 $ c_e>0 $ 因此，也 $ n_e>0 $ . 因為公司總是可以有利潤 $ 0 $ 通過不使用任何投入，利潤最大化意味著 $$ pF(n_e)-wn_e\geq 0. $$ 但是之後，$$ p F(2n_e)-w 2n_e>p 2F(n_e)- w 2n_e=2\big(p F(n_e)-wn_e\big)\geq p F(n_e)-wn_e. $$這裡，嚴格不等式來自 IRTS，弱不等式來自 $ pF(n_e)-wn_e\geq 0. $ 我們看到使用輸入的生產計劃 $ 2n_e $ 產生比使用的生產計劃更高的利潤 $ n_e $ ，與企業通過有投入的生產計劃實現利潤最大化相矛盾 $ n_e $ .