生產互補與要素需求曲線的斜率
考慮公司認為價格是理所當然的並最大化利潤
$$ pf(x_1,…,x_K) - \sum_{i=1}^K q_i x_i, $$
在哪裡 $ f $ 是嚴格凹的。此外，令要素需求曲線為解 $ x^_i(p,q) $ 以及關於要素價格的導數的斜率 $ \frac{\partial x^_i(p,q)}{\partial q_j} $ .
如果假設要素在所有意義上都是互補的，那麼是否可以說要素需求曲線的斜率？
$$ (A) \ \ \frac{\partial^2 f(x_1,…,x_K)}{\partial x_i \partial x_j} > 0, \phantom{xxx}i\not = j $$
問題的動機
直覺地說，如果某些因素變得更昂貴，那麼使用的因素就會減少 $ \frac{\partial x^_j(p,q)}{\partial q_j}<0 $ . 使用較少的因子 $ j $ 會降低該要素的邊際生產力 $ i $ 如果 $ \frac{\partial^2 f(x_1,…,x_K)}{\partial x_i \partial x_j} > 0 $ 這本身就會導致人們假設 $ \partial x_i^(p,q)/\partial q_j <0 $ . 但是，如果我沒記錯的話，這個結果通常不適用於 $ K>2 $ .
但是，在我看來，條件 (A) 將排除價格上漲導致的間接影響的存在。 $ q_j $ 導致需求下降 $ x_j $ 並且使用較少 $ x_j $ 少用 $ x_i $ 被較少使用某些第三因素的事實所抵消 $ x_s $ 對邊際生產力產生積極影響 $ x_i $ . 因此，與條件 (A) 要求相反
$$ \frac{\partial^2 f(x_1,…,x_K)}{\partial x_i \partial x_s} < 0. $$
我認為您的直覺是正確的，可以在您的約束下正式顯示。
當你這麼說時：
$$ \frac{\partial^2 f(x_1,…,x_K)}{\partial x_i \partial x_j} > 0, \phantom{xxx}i\not = j $$
您正在強制 Hessian 的所有非對角線元素 ( $ H $ ) 是積極的。現在我們知道了 $ H $ 是負半定的。如果我們假設它是負定的（這也將強制 $ f(.) $ 嚴格凹）然後 $ H $ 是可逆的，它的逆也是對稱負定的。所以我們可以寫出雅可比行列式 $ (\nabla_qx^*) $ 使用 SOC 作為：
$$ \nabla_qx^* = (1/p)H^{-1} $$
現在使用結果（我花了一段時間才找到這個但無法證明自己）如果非對角元素 $ H $ 是非負的，那麼對於 $ H^{-1} $ 它們將是非肯定的（在連結中它是肯定的，但應該是直接可擴展的）。這證明了您的直覺，即雅可比行列式的非對角線元素也將是負數（或至少是非正數），這正是您要尋找的。